Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số \(y = 2\cos 2x + 5,x \in \left[ {0;\frac{\pi }{6}} \right]\) lần lượt là 7 và 6

Phương pháp giải

- Sử dụng đường tròn lượng giác.

Lời giải

Ta có: \(x \in \left[ {0;\frac{\pi }{6}} \right] \Leftrightarrow 2x \in \left[ {0;\frac{\pi }{3}} \right].\)

Sử dụng đường tròn lượng giác:

Ta có: \(\forall x \in \left[ {0;\frac{\pi }{6}} \right] \Leftrightarrow 2x \in \left[ {0;\frac{\pi }{3}} \right]:\frac{1}{2} \le \cos 2x \le 1\)

\( \Leftrightarrow 1 \le 2\cos 2x \le 2\)

\( \Leftrightarrow 6 \le 2\cos 2x + 5 \le 7\)

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {0;\frac{\pi }{6}} \right]} y = 7\) đạt được khi \(\cos 2x = 1 \Leftrightarrow x = 0 \in \left[ {0;\frac{\pi }{6}} \right]\) ;

    \(\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {0;\frac{\pi }{6}} \right]} y = 6\)

\( \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} \in \left[ {0;\frac{\pi }{6}} \right]\)