Đáp án

Có (1) ___6___ giá trị nguyên của \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - \frac{5}{2}{x^2} - 2x + 1 - m\) có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu.

Giải thích

Ta có \(y' = 3{x^2} - 5{x^2} - 2\). Khi đó: \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 5{x^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{x =  - \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\).

Với \(x = 2\) thì \(y =  - 5 - m\).

Với \(x =  - \frac{1}{3}\) thì \(y = \frac - m\).

Hàm số có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu khi \(\left( { - 5 - m} \right)\left( {\frac - m} \right) < 0 \Leftrightarrow  - 5 < m < \frac\).

Do \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { - 4; - 3; - 2; - 1;0;1} \right\}\).

Vậy có 6 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn.