Đáp án

Giải thích

Dễ thấy rằng điều kiện đã cho tương đương với \({(x - 1)^2} + \frac{{{{(y - 1)}^2}}}{{{2^2}}} = 1\).

Từ đó ta đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + {\rm{cos}}t}\\{y = 1 + 2{\rm{sin}}t}\end{array},t \in \left[ {0;2\pi } \right]} \right.\). Khi đó ta được \(A = 3{\rm{cos}}t + 4{\rm{sin}}t + 6\).

Vậy \({\rm{min}}\,\,A = 6 - \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 1,\,\,{\rm{max}}\,\,A = 6 + \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 11\).

Ta cũng có \(B = \frac{{{\rm{cos}}t - 4{\rm{sin}}t}}{{{\rm{cos}}t + 2{\rm{sin}}t + 3}}\). Dễ thấy \({\rm{cos}}t + 2{\rm{sin}}t + 3 > 0\) với mọi \(t\) nên \(B\) xác định với mọi \(t\).

Bây giờ gọi \(M\) là tập các giá trị của \(B\), thì \(m \in M\) khi và chỉ khi phương trình \(\frac{{{\rm{cos}}t - 4{\rm{sin}}t}}{{{\rm{cos}}t + 2{\rm{sin}}t + 3}} = m\) có nghiệm.

\( \Leftrightarrow \) Phương trình \(\left( {m - 1} \right){\rm{cos}}t + 2\left( {m + 2} \right){\rm{sin}}t + 3m = 0\) có nghiệm.

\( \Leftrightarrow {(m - 1)^2} + 4{(m + 2)^2} \ge 9{m^2} \Leftrightarrow \frac{4} \le m \le \frac{4}\).

Do đó \(M = \left[ {\frac{4};\frac{4}} \right]\).

Vậy \({\rm{min}}\,\,B = \frac{4},{\rm{max}}\,\,B = \frac{4}\).