Đáp án

Độ dài đoạn thẳng \(AP\) là \(\frac{2}\)

Góc giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(AP\) là \({45^o}\)

Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(AP\) là \(\frac{a}{3}\)

Phương pháp giải

- Sử dụng định lí Pytago.

- Áp dụng định lý cosin cho \(\Delta ACP\).

- Chuyển đổi đỉnh và sử dụng công thức tính thể tích để tính khoảng cách.

Lời giải

Do \(AC\) song song với \(MN\) nên góc giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(AP\) bằng góc giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(AP\).

\(PC = \sqrt {C'{C^2} + C'{P^2}}  = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

\(AP = \sqrt {A'{A^2} + A'{P^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 5 }}{2}} \right)}^2} + {a^2}}  = \frac{2}\)

Ta có: \(AC = a\sqrt 2 \).

Áp dụng định lý cosin cho  ta có

\({\rm{cos}}\widehat {CAP} = \frac{{A{P^2} + A{C^2} - P{C^2}}} = \frac{{\frac{{9{a^2}}}{4} + 2{a^2} - \frac{{5{a^2}}}{4}}}{{2.\frac{2}.a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Rightarrow \widehat {CAP} = {45^ \circ }\).

Vây góc giữa hai đường thẳng \({\rm{MN}}\) và \({\rm{AP}}\) bằng \({45^ \circ }\).

Khoảng cách giữa hai đường thẳng \({\rm{MN}}\) và \({\rm{AP}}\) bằng khoảng cách giữa \({\rm{MN}}\) và mặt phẳng \(\left( {APC} \right)\).

\(d\left( {MN,\left( {APC} \right)} \right) = d\left( {M,\left( {APC} \right)} \right)\)

\( = \frac{1}{2}d\left( {B,\left( {APC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {D,\left( {APC} \right)} \right)\)

\( = \frac{1}{2}.\frac{{3{V_{D.APC}}}}{{{S_{APC}}}}\)

Ta có: \({S_{APC}} = \frac{1}{2}.AP.AC.{\rm{sin}}{45^ \circ } = \frac{1}{2}.\frac{2}.a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{3{a^2}}}{4}\)

\({V_{D.APC}} = \frac{1}{3}.A'A.{S_{ACD}} = \frac{1}{3}.a.\frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{{a^3}}}{6}\)

\( \Rightarrow d\left( {MN,AP} \right) = \frac{1}{2}.\frac{{3.\frac{{{a^3}}}{6}}}{{\frac{{3{a^2}}}{4}}} = \frac{a}{3}\)