Chúng ta có thể biểu diễn biểu thức đã cho là:

\[
S = \frac{1}{2} - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^4} + \ldots + \frac{1}{2^{99}} - \frac{1}{2^{100}}
\]

Ta có thể phân tách các phần tử của chuỗi:

- Tử số đầu tiên là \(\frac{1}{2}\).
- Tử số thứ hai là \(-\frac{1}{2^2}\).
- Sau đó là chuỗi dương từ \(\frac{1}{2^3}\) đến \(\frac{1}{2^{99}}\).
- Tử số cuối cùng là \(-\frac{1}{2^{100}}\).

Ta nhóm lại các thành phần trong biểu thức, ví dụ:

\[
S = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2^2}\right) + \left(\frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^4} + \ldots + \frac{1}{2^{99}}\right) - \frac{1}{2^{100}}
\]

**Bước 1: Tính \(\frac{1}{2} - \frac{1}{2^2}\)**:
\[
\frac{1}{2} - \frac{1}{2^2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}
\]

**Bước 2: Tính tổng của chuỗi từ \(\frac{1}{2^3}\) đến \(\frac{1}{2^{99}}\)**:

Đây là một chuỗi cấp số nhân với:
- Tử số đầu: \(a = \frac{1}{2^3}\)
- Công bội: \(q = \frac{1}{2}\)
- Số hạng: \(n = 99 - 3 + 1 = 97\)

Công thức tổng cho chuỗi cấp số nhân là:

\[
S_n = a \frac{1 - q^n}{1 - q}
\]

Sử dụng công thức:

\[
S = \frac{1}{2^3} \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{97}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1 - \frac{1}{2^{97}}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{8} \cdot 2 \cdot \left(1 - \frac{1}{2^{97}}\right) = \frac{1}{4} \cdot \left(1 - \frac{1}{2^{97}}\right)
\]

**Bước 3: Tính giá trị của \(S\)**:

Tổng kết lại ta được:

\[
S = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \left(1 - \frac{1}{2^{97}}\right) - \frac{1}{2^{100}}
\]

\[
= \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{2^{100}} - \frac{1}{4 \cdot 2^{97}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2^{100}} - \frac{1}{4 \cdot 2^{97}}
\]

**Bước 4: Tính từng phần**:

\(\frac{1}{4 \cdot 2^{97}} = \frac{1}{2^{99}}\)

Do đó, ta có thể viết lại:

\[
S = \frac{1}{2} - \frac{1}{2^{100}} - \frac{1}{2^{99}} = \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2^{99}} + \frac{1}{2^{100}}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1 + \frac{1}{2}}{2^{99}} = \frac{1}{2} - \frac{3}{2^{100}}
\]

Cuối cùng,

\[
S = \frac{1}{2} - \frac{3}{2^{100}}
\]

**Kết quả cuối cùng là:**

\[
S = \frac{1}{2} - \frac{3}{2^{100}}
\]