Tính \(\sqrt{32-2\sqrt{31}} + \sqrt{32+2\sqrt{231}}\)

Để tính giá trị của biểu thức \(\sqrt{32-2\sqrt{31}} + \sqrt{32+2\sqrt{231}}\), chúng ta sẽ xử lý từng phần riêng biệt.

### 1. Tính \(\sqrt{32-2\sqrt{31}}\)

Đặt \( x = \sqrt{32-2\sqrt{31}} \). Chúng ta sẽ tìm được dạng phù hợp:

\[
x = \sqrt{a} - \sqrt{b} \quad \text{với} \quad a+b = 32 \quad \text{và} \quad 2\sqrt{ab} = 2\sqrt{31}
\]

Từ đó, suy ra:

\[
\sqrt{ab} = \sqrt{31} \quad \Rightarrow \quad ab = 31
\]

Giờ đây, ta có hệ phương trình:

1. \( a + b = 32 \)
2. \( ab = 31 \)

Giải phương trình độ hai \( t^2 - (a+b)t + ab = 0 \):

\[
t^2 - 32t + 31 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm:

\[
t = \frac{32 \pm \sqrt{32^2 - 4 \cdot 31}}{2} = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 124}}{2} = \frac{32 \pm \sqrt{900}}{2} = \frac{32 \pm 30}{2}
\]

Cụ thể, ta có hai nghiệm:

\[
t_1 = \frac{62}{2} = 31 \quad \text{và} \quad t_2 = \frac{2}{2} = 1
\]

Vì vậy, \( a = 31 \) và \( b = 1 \). Do đó:

\[
\sqrt{32 - 2\sqrt{31}} = \sqrt{31} - \sqrt{1} = \sqrt{31} - 1
\]

### 2. Tính \(\sqrt{32 + 2\sqrt{231}}\)

Đặt \( y = \sqrt{32 + 2\sqrt{231}} \). Tương tự, tìm \( y = \sqrt{a} + \sqrt{b} \) với:

\[
a+b = 32 \quad \text{và} \quad 2\sqrt{ab} = 2\sqrt{231} \quad \Rightarrow \quad \sqrt{ab} = \sqrt{231} \quad \Rightarrow \quad ab = 231
\]

Hệ phương trình:

1. \( a + b = 32 \)
2. \( ab = 231 \)

Giải tương tự như trước:

\[
t^2 - 32t + 231 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm:

\[
t = \frac{32 \pm \sqrt{32^2 - 4 \cdot 231}}{2} = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 924}}{2} = \frac{32 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{32 \pm 10}{2}
\]

Cụ thể, ta có:

\[
t_1 = \frac{42}{2} = 21 \quad \text{và} \quad t_2 = \frac{22}{2} = 11
\]

Vậy \( a = 21 \) và \( b = 11 \). Do đó:

\[
\sqrt{32 + 2\sqrt{231}} = \sqrt{21} + \sqrt{11}
\]

### 3. Kết hợp lại

Biểu thức trở thành:

\[
\sqrt{32 - 2\sqrt{31}} + \sqrt{32 + 2\sqrt{231}} = (\sqrt{31} - 1) + (\sqrt{21} + \sqrt{11}) = \sqrt{31} + \sqrt{21} + \sqrt{11} - 1
\]

Vậy kết quả cuối cùng là:

\[
\sqrt{31} + \sqrt{21} + \sqrt{11} - 1
\]