Tính \( a_2, a_3, \ldots, a_n \)

Để giải bài toán này, ta có hệ thức:

\[
\frac{a_1}{a_2} = \frac{a_2}{a_3} = \ldots = \frac{a_{n-1}}{a_n} = \frac{a_n}{a_1} = k
\]

Từ đó, ta có thể biểu diễn các số hạng:

\[
a_2 = \frac{a_1}{k}, \quad a_3 = \frac{a_2}{k} = \frac{a_1}{k^2}, \quad a_4 = \frac{a_3}{k} = \frac{a_1}{k^3}, \ldots, \quad a_n = \frac{a_1}{k^{n-1}}
\]

Tổng các số hạng lại:

\[
a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n = a_1 + \frac{a_1}{k} + \frac{a_1}{k^2} + \ldots + \frac{a_1}{k^{n-1}}
\]

Đây là một cấp số nhân với số hạng đầu tiên là \( a_1 \) và công bội là \( \frac{1}{k} \). Ta có công thức tổng cấp số nhân:

\[
S = a_1 \frac{1 - \left( \frac{1}{k} \right)^n}{1 - \frac{1}{k}} = a_1 \frac{k^n - 1}{k^{n-1}(k - 1)}
\]

Biết rằng tổng này khác 0:

\[
a_1 + a_2 + \ldots + a_n \neq 0
\]

Giả sử \( a_1 = -\sqrt{5} \):

\[
-\sqrt{5} \frac{k^n - 1}{k^{n-1}(k - 1)} \neq 0
\]

Điều này đảm bảo rằng \( k \) không thể bằng 1. Từ đây, ta hãy xác định giá trị của \( a_2, a_3, \ldots, a_n \).

Giả sử \( k = r \):

\[
a_2 = -\frac{\sqrt{5}}{r}, \quad a_3 = -\frac{\sqrt{5}}{r^2}, \quad \ldots, \quad a_n = -\frac{\sqrt{5}}{r^{n-1}}
\]

Cuối cùng, ta có:

\[
a_2, a_3, \ldots, a_n = -\frac{\sqrt{5}}{r}, -\frac{\sqrt{5}}{r^2}, \ldots, -\frac{\sqrt{5}}{r^{n-1}}
\]

Vậy kết quả là:

\[
a_2 = -\frac{\sqrt{5}}{r}, a_3 = -\frac{\sqrt{5}}{r^2}, \ldots, a_n = -\frac{\sqrt{5}}{r^{n-1}}
\]

với \( r \neq 1 \) và \( r \) được xác định từ các điều kiện khác trong bài toán.