Để giải bài toán này, ta sẽ xử lý từng phần một.

1. **a)** Chứng minh rằng phương trình
\[
x^2 - 2(m - 1)x - 3 - m = 0
\]
có nghiệm \( x_1, x_2 \) với mọi \( m \).

Phương trình bậc hai có dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \), với \( a = 1 \), \( b = -2(m - 1) \), và \( c = -3 - m \).

Để phương trình có nghiệm, cần kiểm tra điều kiện của biệt thức \( D = b^2 - 4ac \):
\[
D = [-2(m - 1)]^2 - 4(1)(-3 - m) = 4(m - 1)^2 + 12 + 4m
\]

Biến đổi biểu thức:
\[
D = 4(m^2 - 2m + 1 + 3 + m) = 4(m^2 - m + 4)
\]

Rõ ràng, \( m^2 - m + 4 \) luôn dương với mọi số thực \( m \) (định nghĩa bất phương trình). Do đó, \( D \geq 0 \) với mọi \( m \), suy ra phương trình luôn có hai nghiệm thực \( x_1 \) và \( x_2 \) với mọi giá trị của \( m \).

2. **b)** Tìm \( m \) sao cho nghiệm số \( x_1, x_2 \) của phương trình thỏa mãn \( x_1^2 + x_2^2 \geq 10 \).

Sử dụng công thức về tổng và tích của nghiệm bậc hai:
\[
x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = 2(m - 1)
\]
\[
x_1 x_2 = \frac{c}{a} = -3 - m
\]

Ta có:
\[
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = [2(m - 1)]^2 - 2(-3 - m)
\]

Biến đổi biểu thức:
\[
= 4(m - 1)^2 + 6 + 2m
\]
\[
= 4(m^2 - 2m + 1) + 6 + 2m = 4m^2 - 8m + 4 + 6 + 2m = 4m^2 - 6m + 10
\]

Yêu cầu là:
\[
4m^2 - 6m + 10 \geq 10
\]

Rút gọn:
\[
4m^2 - 6m \geq 0
\]
\[
2m(2m - 3) \geq 0
\]

Giải bất phương trình này:
Có hai điểm gãy tại \( m = 0 \) và \( m = \frac{3}{2} \). Kiểm tra dấu:
- Với \( m < 0 \): Dương
- Với \( 0 < m < \frac{3}{2} \): Âm
- Với \( m = \frac{3}{2} \): Bằng 0
- Với \( m > \frac{3}{2} \): Dương

Vậy nghiệm của bất phương trình là:
\[
m \leq 0 \quad \text{hoặc} \quad m \geq \frac{3}{2}
\]

Tóm lại:
- Phương trình luôn có nghiệm với mọi \( m \).
- \( m \leq 0 \) hoặc \( m \geq \frac{3}{2} \) cho các nghiệm thỏa mãn điều kiện \( x_1^2 + x_2^2 \geq 10 \).