Tính

Để tính \( S \), ta có biểu thức:

\[
S = \frac{2}{1.4} + \frac{2}{4.7} + \frac{2}{7.10} + \ldots + \frac{2}{2023.2026}
\]

Trước tiên, ta có thể nhận thấy rằng mẫu số (denominator) của từng phần là một tích của hai số liên tiếp, cụ thể là \( n(n+3) \), với \( n \) lần lượt là các số 1, 4, 7, ..., đến 2023.

Mỗi số trong dãy này có thể biểu diễn dưới dạng:

- \( 1.4 = 1 \times 4 \)
- \( 4.7 = 4 \times 7 \)
- \( 7.10 = 7 \times 10 \)
- ...
- \( 2023.2026 = 2023 \times 2026 \)

Ta có thể viết lại biểu thức \( S \) như sau:

\[
S = 2 \left( \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + ... + \frac{1}{2023 \cdot 2026} \right)
\]

Giờ chúng ta tính tổng:

Nhận thấy rằng:

\[
\frac{1}{n(n+3)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+3} \right)
\]

Áp dụng vào tổng \( S \):

\[
S = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{10} + \ldots + \frac{1}{2023} - \frac{1}{2026} \right)
\]

Như vậy, biểu thức là một chuỗi số hạng dạng triệt tiêu, bao gồm:

\[
S = \frac{2}{3} \left( 1 - \frac{1}{2026} \right)
\]

Tính kết quả:

\[
S = \frac{2}{3} \left( 1 - \frac{1}{2026} \right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2025}{2026} = \frac{4050}{3 \cdot 2026} = \frac{4050}{6078}
\]

Cuối cùng, ta có thể giảm số hạng này bằng cách tìm ước chung lớn nhất của 4050 và 6078.

Kết quả cuối cùng của tổng \( S \):

\[
S = \frac{1350}{2026}
\] (có thể tính lại để đơn giản hơn nếu cần).