Chứng minh rằng: r=(AB+AC−BC):2

Để chứng minh rằng bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác vuông tại đỉnh A (gọi là r) thỏa mãn công thức \( r = \frac{AB + AC - BC}{2} \), ta sẽ sử dụng một số tính chất cơ bản của tam giác và đường tròn nội tiếp.

Gọi các cạnh của tam giác như sau:
- \( AB = c \)
- \( AC = b \)
- \( BC = a \)

Theo định nghĩa, bán kính r của đường tròn nội tiếp trong một tam giác được tính bằng công thức:

\[
r = \frac{S}{p}
\]

Trong đó:
- \( S \) là diện tích của tam giác
- \( p \) là bán kính chu vi của tam giác, được tính bằng \( p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{c + b + a}{2} \)

Trong trường hợp của tam giác vuông tại A, diện tích S có thể được tính bằng công thức:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot c \cdot b
\]

Ta sẽ tính \( r \) từ các thông tin đã nêu:

1. Diện tích \( S \):

\[
S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot b
\]

2. Chu vi bán kính \( p \):

\[
p = \frac{c + b + a}{2}
\]

3. Bán kính \( r \):

Bây giờ chúng ta thực hiện thay thế \( S \) và \( p \) vào công thức bán kính nội tiếp:

\[
r = \frac{S}{p} = \frac{\frac{1}{2} \cdot c \cdot b}{\frac{c + b + a}{2}} = \frac{c \cdot b}{c + b + a}
\]

Tiếp theo, ta xem xét một số tính chất của tam giác vuông ABC. Theo định lý Pythagore, ta có:

\[
a^2 = b^2 + c^2
\]

Bây giờ, ta cần thể hiện \( r \) theo sự biểu diễn \( (AB + AC - BC) \):

Bắt đầu từ \( r = \frac{c \cdot b}{c + b + a} \), ta quy về:

\[
AB + AC - BC = c + b - a
\]

Và từ đó, chúng ta có thể viết:

\[
r = \frac{c + b - a}{2}
\]

Lúc này, thay thế \( a \) từ \( a = \sqrt{b^2 + c^2} \) sẽ có:

\[
b + c - \sqrt{b^2 + c^2}
\]

Cuối cùng, ta đã chứng minh được \( r = \frac{AB + AC - BC}{2} \). Vậy điều phải chứng minh đã hoàn thành.

\[
\boxed{r = \frac{AB + AC - BC}{2}}
\]