Để tính biểu thức \( b - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} + \frac{1}{128} + \frac{1}{256} \), trước tiên chúng ta tính tổng của các phân số.

Tổng các phân số từ \( \frac{1}{4} \) đến \( \frac{1}{256} \) có thể được viết dưới dạng:

\[
\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} + \frac{1}{128} + \frac{1}{256}
\]

Tất cả các phân số này có thể được quy về mẫu số chung là 256:

\[
\frac{1}{4} = \frac{64}{256}, \quad \frac{1}{8} = \frac{32}{256}, \quad \frac{1}{16} = \frac{16}{256}, \quad \frac{1}{32} = \frac{8}{256}
\]
\[
\frac{1}{64} = \frac{4}{256}, \quad \frac{1}{128} = \frac{2}{256}, \quad \frac{1}{256} = \frac{1}{256}
\]

Bây giờ chúng ta cộng tất cả lại:

\[
\frac{64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1}{256} = \frac{127}{256}
\]

Vì vậy, tổng \( \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} + \frac{1}{128} + \frac{1}{256} = \frac{127}{256} \).

Tiếp theo, chúng ta thay vào biểu thức ban đầu:

\[
b - \frac{1}{2} + \frac{127}{256} = b - \frac{128}{256} + \frac{127}{256}
\]

\[
= b - \frac{128 - 127}{256} = b - \frac{1}{256}
\]

Vậy nên kết quả cuối cùng là:

\[
b - \frac{1}{256}
\]