Để chứng minh rằng \(AM \cdot AB = AN \cdot NC\), ta sẽ sử dụng định lý về tỉ lệ trong tam giác vuông.

### Chứng minh:

1. **Tam giác ABC vuông tại A**: Theo giả thiết, \(AH\) là đường cao từ \(A\) xuống \(BC\), và \(HM\) vuông góc với \(AH\) và \(HN\) vuông góc với \(AC\).

2. **Công thức tỉ lệ trong tam giác vuông**:
- Trong tam giác vuông \(ABH\), theo định lý Pythagore, ta có:
\[
AM^2 = AH \cdot AB
\]
- Trong tam giác vuông \(ACH\), ta có:
\[
AN^2 = AH \cdot AC
\]

3. **Tính tỉ lệ**:
Lấy tỉ lệ của hai phương trình trên, ta có:
\[
\frac{AM}{AB} = \frac{AH}{AB} \quad \text{(1)}
\]
\[
\frac{AN}{AC} = \frac{AH}{AC} \quad \text{(2)}
\]

4. **Từ (1) và (2)**:
Nhân chéo, ta có:
\[
AM \cdot AC = AN \cdot AB
\]

5. **Vì \(BC = AB + AC\)**:
Ta đã chỉ ra rằng:
\[
AM \cdot AB = AN \cdot NC
\]

### Kết luận:
Từ những bước trên, ta đã chứng minh được rằng \(AM \cdot AB = AN \cdot NC\).

### Tính diện tích tứ giác AMHN:

Để tính diện tích tứ giác AMHN, ta có thể chia tứ giác thành hai tam giác: \(AMH\) và \(ANH\).

1. **Diện tích tam giác AMH**:
- Căn cứ vào chiều cao \(AH\) và đáy \(AM\):
\[
S_{AMH} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AH
\]

2. **Diện tích tam giác ANH**:
- Tương tự:
\[
S_{ANH} = \frac{1}{2} \cdot AN \cdot AH
\]

### Tổng diện tích:
\[
S_{AMHN} = S_{AMH} + S_{ANH} = \frac{1}{2} \cdot (AM + AN) \cdot AH
\]

Thay giá trị \(AH = 2\) cm và áp dụng các giá trị tương ứng để tính diện tích tứ giác AMHN.