Để so sánh độ dài \( PD \) và \( PE \) trong tam giác vuông \( MNP \) với \( M \) là điểm vuông, ta sẽ sử dụng các thông tin đã cho:

- \( MN = 6 \) cm
- \( MD = 3 \) cm
- \( ME = 8 \) cm

### a) So sánh độ dài \( PD \) và \( PE \)

Chúng ta cần tính độ dài của các đoạn thẳng \( PD \) và \( PE \) bằng cách sử dụng định lý Pytago trong tam giác vuông:

1. **Tính độ dài \( PD \)**:
- Trong tam giác vuông \( MNP \), theo định lý Pytago:
\[
PD = \sqrt{MN^2 + MD^2} = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \text{ cm}.
\]

2. **Tính độ dài \( PE \)**:
- Tương tự, chúng ta tính:
\[
PE = \sqrt{MN^2 + ME^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}.
\]

Bây giờ, ta so sánh:
\[
PD = 3\sqrt{5} \approx 6.71 \text{ cm} < PE = 10 \text{ cm}.
\]

**Kết luận**:
\[
PD < PE.
\]

### b) Sắp xếp các đoạn thẳng \( PD \), \( PE \), \( PN \) theo thứ tự có độ dài tăng dần

1. **Đoạn thẳng \( PN \)**:
- Trong tam giác vuông \( MNP \):
\[
PN = MN = 6 \text{ cm}.
\]

2. **Độ dài đã tính:**
- Độ dài \( PD \approx 6.71 \) cm.
- Độ dài \( PE = 10 \) cm.

Sắp xếp các đoạn thẳng \( PD \), \( PE \), và \( PN \) theo thứ tự độ dài tăng dần:
\[
PN = 6 \text{ cm} < PD \approx 6.71 \text{ cm} < PE = 10 \text{ cm}.
\]

**Kết luận**:
Thứ tự có độ dài tăng dần là:
\[
PN < PD < PE.
\]