Để tìm giá trị của \( x \) trong các phương trình, chúng ta sẽ giải từng phương trình một.

### a) \( (x-1)^4 + (x+1)^4 = 16 \)

Ta có thể mở rộng hai khai phương:

\[
(x-1)^4 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1
\]
\[
(x+1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1
\]

Cộng hai phương trình lại:

\[
(x-1)^4 + (x+1)^4 = 2x^4 + 12x^2 + 2
\]

Ta có phương trình:

\[
2x^4 + 12x^2 + 2 = 16
\]

Rút gọn:

\[
2x^4 + 12x^2 - 14 = 0
\]

Chia cả hai vế cho 2:

\[
x^4 + 6x^2 - 7 = 0
\]

Đặt \( y = x^2 \):

\[
y^2 + 6y - 7 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai:

\[
y = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2} = \frac{-6 \pm 8}{2}
\]

Từ đây có hai giá trị cho \( y \):

\[
y_1 = 1, \quad y_2 = -7
\]

Do đó, \( x^2 = 1 \rightarrow x = \pm 1 \).

### b) \( (x+1)^4 + (x-3)^4 = 82 \)

Tương tự như trên, mở rộng từng khai phương:

\[
(x+1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1
\]
\[
(x-3)^4 = x^4 - 12x^3 + 54x^2 - 108x + 81
\]

Cộng lại:

\[
(x+1)^4 + (x-3)^4 = 2x^4 - 8x^3 + 60x^2 - 104x + 82
\]

Đặt phương trình:

\[
2x^4 - 8x^3 + 60x^2 - 104x + 82 = 82
\]

Rút gọn:

\[
2x^4 - 8x^3 + 60x^2 - 104x = 0
\]

Chia cả hai vế cho 2:

\[
x^4 - 4x^3 + 30x^2 - 52x = 0
\]

Phân tích ra ngoài:

\[
x(x^3 - 4x^2 + 30x - 52) = 0
\]

Nên \( x = 0 \) hoặc giải phương trình bậc ba còn lại.

### c) \( x^3 + 6x = 7 \)

Khi rút gọn:

\[
x^3 + 6x - 7 = 0
\]

Tìm nghiệm của phương trình này có thể thay giá trị cho \( x \) và kiểm tra.

### d) \( x^{2025} + 5x = 6 \)

Ta có thể đơn giản hoá để giải nghiệm, đặt:

\[
x^{2025} + 5x - 6 = 0
\]

Tiến hành thử nghiệm với các giá trị của \( x \) như \( x = 1 \) hoặc \( x = 0 \).

Nếu bạn cần tìm nghiệm cụ thể cho từng phương trình, hãy cho tôi biết để được giải thích chi tiết hơn!