Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng phần một theo yêu cầu:

### a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc đường tròn
- Gọi O là tâm của đường tròn (O), và AO là bán kính. Vì A nằm ngoài đường tròn, nên ta có đoạn AO > OB (OB là bán kính).
- B và C lần lượt là hai điểm tiếp tuyến với đường tròn từ A. Từ tính chất của tiếp tuyến, ta có AB ⊥ OB và AC ⊥ OC.
- Do đó, góc AOB và góc AOC đều là góc vuông, suy ra các tam giác ABO và ACO đều là tam giác vuông.
- Từ đó có thể chứng minh rằng A, B, O, C đều nằm trên cùng một đường tròn bằng cách sử dụng định lý vòng tròn, cụ thể là \(\angle AOB + \angle AOC = 180^\circ\) nên bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.

### b) Kẻ đường kính BD
- Gọi H là giao điểm của AO và OB.
- Vì BD là đường kính, theo định lý đường kính, chúng ta có thể khẳng định rằng mọi góc được tạo bởi đường kính đều tạo thành các góc vuông với bất kỳ điểm nào nằm trên vòng tròn. Từ đó, ta chứng minh rằng H là trung điểm của AO.
- Dạng tam giác AOH có góc vuông ở H, cung cấp thêm dữ liệu cho việc chúng ta sử dụng các tính chất của đường kính và tiếp tuyến để chứng minh các mối quan hệ về kích thước và khoảng cách.

### c) Chứng minh rằng \(\frac{2}{AF} = \frac{1}{AE} + \frac{1}{AD}\)
- Dựa vào các tỉ lệ chiều dài đoạn thẳng và đẳng thức Pythagore. Gọi F là điểm cắt của BC với đường tròn và E là điểm cắt của AD với đường tròn.
- Áp dụng định lý thales cho các đoạn, có thể cho ta các tỉ số chiều dài cần thiết để chứng minh đẳng thức trên bằng cách tính các tỉ lệ tương ứng.

---
Lưu ý rằng để có thể hoàn thiện các bài toán hình học như thế này, điều kiện tiên quyết là cần có sự vẽ hình và phân tích sâu hơn về các mối quan hệ trực quan giữa các phần tử (điểm, đoạn thẳng, góc...).