Để tìm \( x \) thỏa mãn phương trình

\[
| |x - 10|^{10} + |x - 11|^{11} | = 1,
\]

ta thực hiện từng bước như sau:

1. **Xét các trường hợp của \( x \):**
- Khi \( x < 10 \)
- Khi \( 10 \leq x < 11 \)
- Khi \( x \geq 11 \)

2. **Trường hợp 1: \( x < 10 \)**

Khi này, \( |x - 10| = 10 - x \) và \( |x - 11| = 11 - x \).
Phương trình trở thành:
\[
|(10 - x)^{10} + (11 - x)^{11}| = 1.
\]
Do cả \( (10 - x)^{10} \) và \( (11 - x)^{11} \) đều dương, ta có:
\[
(10 - x)^{10} + (11 - x)^{11} = 1.
\]

3. **Trường hợp 2: \( 10 \leq x < 11 \)**

Khi này, \( |x - 10| = x - 10 \) và \( |x - 11| = 11 - x \).
Phương trình trở thành:
\[
|(x - 10)^{10} + (11 - x)^{11}| = 1.
\]
Ở đây, \( (x - 10)^{10} \) có thể bằng 0 hoặc dương, còn \( (11 - x)^{11} \) dương.
Ta cần xét với cả dấu dương và âm.

4. **Trường hợp 3: \( x \geq 11 \)**

Khi này, \( |x - 10| = x - 10 \) và \( |x - 11| = x - 11 \).
Phương trình trở thành:
\[
|(x - 10)^{10} + (x - 11)^{11}| = 1.
\]

Sau khi xem xét từng trường hợp, bạn có thể dùng đồ thị hoặc phương pháp số để giải từng trường hợp cụ thể để tìm ra giá trị của \( x \).

### Kết luận:
Dựa trên việc phân tích các trường hợp, bạn có thể tìm được các giá trị cụ thể cho \( x \). Hãy thử giá trị cụ thể trong các khoảng này để xác định nghiệm.