Để rút gọn biểu thức \( P \) và tính giá trị biểu thức \( Q \) theo yêu cầu, ta làm từng phần một.

### a) Rút gọn biểu thức \( P \)

Biểu thức \( P \) được cho là:

\[
P = \frac{x+1}{x+2} + \frac{2}{x} - \frac{4}{x^2 + 2x}
\]

Đầu tiên, ta sẽ đưa tất cả các phần tử về một mẫu chung.

1. **Tìm mẫu chung**: Mẫu chung sẽ là \( x(x+2) \).

2. **Đưa từng phần về mẫu chung**:

- Phần đầu:
\[
\frac{x + 1}{x + 2} = \frac{(x + 1)x}{x(x + 2)} = \frac{x^2 + x}{x(x + 2)}
\]

- Phần thứ hai:
\[
\frac{2}{x} = \frac{2(x + 2)}{x(x + 2)} = \frac{2x + 4}{x(x + 2)}
\]

- Phần thứ ba:
\[
\frac{4}{x^2 + 2x} = \frac{4}{x(x + 2)}
\]

3. **Tính \( P \)**:

Giờ ta thay tất cả về mẫu chung:
\[
P = \frac{x^2 + x + 2x + 4 - 4}{x(x + 2)} = \frac{x^2 + 3x}{x(x + 2)}
\]

Rút gọn:
\[
P = \frac{x(x + 3)}{x(x + 2)} = \frac{x + 3}{x + 2} \quad \text{(x ≠ 0)}
\]

### b) Tính giá trị biểu thức \( Q \) khi \( x^2 - 4 = 0 \)

Giải phương trình \( x^2 - 4 = 0 \):
\[
x^2 = 4 \rightarrow x = 2 \text{ hoặc } x = -2
\]

Biểu thức \( Q \) được cho là:
\[
Q = \frac{x}{x + 2}
\]

**Tính giá trị \( Q \) tại \( x = 2 \)**:
\[
Q(2) = \frac{2}{2 + 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
\]

**Tính giá trị \( Q \) tại \( x = -2 \)**:
\[
Q(-2) = \frac{-2}{-2 + 2} = \frac{-2}{0} \quad \text{(không xác định)}
\]

### Kết luận

- \(\text{a)} P = \frac{x + 3}{x + 2} \text{ (với } x \neq 0)\)
- \(\text{b)} Q = \frac{1}{2} \text{ (khi } x = 2)\) và không xác định khi \( x = -2 \).