Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một.

### 1) Tính giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = 1 \).

Biểu thức \( A \) được cho là:

\[
A = 2\sqrt{x} + 7
\]

Khi \( x = 1 \):

\[
A = 2\sqrt{1} + 7 = 2 \cdot 1 + 7 = 2 + 7 = 9
\]

### 2) Chứng minh \( B = \frac{2}{\sqrt{x} + 2} \).

Biểu thức \( B \) được cho là:

\[
B = \frac{1}{\sqrt{x - 2} - \sqrt{x - 4}}
\]

Để chứng minh, trước tiên nhân và chia cho \( \sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 4} \):

\[
B = \frac{1 \cdot (\sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 4})}{(\sqrt{x - 2} - \sqrt{x - 4})(\sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 4})}
\]

Mẫu số sẽ trở thành:

\[
(\sqrt{x - 2})^2 - (\sqrt{x - 4})^2 = (x - 2) - (x - 4) = 2
\]

Vậy:

\[
B = \frac{\sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 4}}{2}
\]

Để bây giờ so sánh với \( B = \frac{2}{\sqrt{x} + 2} \):

Từ \( B \):

\[
B = \frac{2}{\sqrt{x} + 2}
\]

Hai biểu thức đều bằng khi \( \sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 4} = 2 \).

### 3) Tìm giá trị của \( x \) để biểu thức \( A + B \) đạt giá trị nguyên nhỏ nhất.

Biểu thức \( A + B \):

\[
A + B = 9 + \frac{2}{\sqrt{x} + 2}
\]

Để \( A + B \) là nguyên, \( \frac{2}{\sqrt{x} + 2} \) cũng phải là nguyên, tức là \( \sqrt{x} + 2 \) cần chia hết cho 2.

Giả sử \( \sqrt{x} + 2 = k \), với \( k \in \mathbb{Z} \):

\[
\sqrt{x} = k - 2 \Rightarrow x = (k - 2)^2
\]

Tính \( A + B \):

\[
A + B = 9 + \frac{2}{k}
\]

Và \( 2/k \) cần là nguyên. Các giá trị nguyên nhỏ nhất sẽ do \( k = 1 \) mang lại \( A + B = 9 + 2 = 11 \).

Từ đó, ta có thể thấy rằng giá trị nhỏ nhất là khi \( k = 2 \Rightarrow x = 0 \).

Do đó, cần kiểm tra lại các giá trị nguyên cho \( k \) và tìm bất kỳ giá trị nhỏ hơn 11 nếu có.