Để tìm các hệ số \(a\), \(b\), \(c\) cho đa thức \(f(x) = (x - 2)(x^2 - x + 1) + ax^2 + bx + c\) thỏa mãn điều kiện chia cho \(x - 2\) dư \(11\) và chia cho \(x^2 - x + 1\) dư \(3x + 2\), ta phải thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Tính \(f(2)\) để thỏa mãn điều kiện chia cho \(x - 2\)
Do \(f(x)\) chia cho \(x - 2\) dư \(11\), ta có:
\[
f(2) = 11
\]
Tính \(f(2)\):

\[
f(2) = (2 - 2)(2^2 - 2 + 1) + a(2^2) + b(2) + c
\]
\[
= 0 + 4a + 2b + c
\]
Do đó, có phương trình:
\[
4a + 2b + c = 11 \quad (1)
\]

### Bước 2: Tính dạng dư khi chia cho \(x^2 - x + 1\)
Khi \(f(x)\) chia cho \(x^2 - x + 1\), nó có dạng:
\[
f(x) = (x^2 - x + 1)Q(x) + (Ax + B)
\]
với \(A\) và \(B\) là các hằng số cần tìm.

Ta cần tìm \(A\) và \(B\) sao cho:
\[
f(x) \equiv 3x + 2 \pmod{x^2 - x + 1}
\]

### Bước 3: Giải hệ phương trình
Thay \(f(x)\) vào điều kiện trên, ta tìm \(f(0)\) và \(f(1)\):

1. Tính \(f(0)\):
\[
f(0) = (0 - 2)(0^2 - 0 + 1) + a(0)^2 + b(0) + c = -2 + c
\]
Cũng có:
\[
f(0) = B = 2 \quad (2)
\]
Vậy:
\[
c = 4 \quad (từ (2))
\]

2. Tính \(f(1)\):
\[
f(1) = (1 - 2)(1^2 - 1 + 1) + a(1)^2 + b(1) + c = -1 + a + b + 4
\]
Ta cũng có:
\[
f(1) = 3(1) + 2 = 5
\]
Do đó:
\[
-1 + a + b + 4 = 5 \Rightarrow a + b + 3 = 5 \Rightarrow a + b = 2 \quad (3)
\]

### Bước 4: Giải hệ phương trình (1) và (3)
Ta có:
\[
4a + 2b + 4 = 11 \quad (1)
\]
Giải từ (1):
\[
4a + 2b = 7 \quad \Rightarrow 2a + b = \frac{7}{2} \quad (4)
\]

Giờ ta có hệ phương trình gồm (3) và (4):
\[
\begin{cases}
a + b = 2 \quad (3) \\
2a + b = \frac{7}{2} \quad (4)
\end{cases}
\]

Từ (3):
\[
b = 2 - a
\]
Thay vào (4):
\[
2a + (2 - a) = \frac{7}{2}
\]
\[
2a - a + 2 = \frac{7}{2} \Rightarrow a + 2 = \frac{7}{2} \Rightarrow a = \frac{3}{2}
\]
Thay \(a\) vào (3):
\[
\frac{3}{2} + b = 2 \Rightarrow b = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}
\]

### Kết quả
Vậy các hệ số là:
\[
a = \frac{3}{2}, \quad b = \frac{1}{2}, \quad c = 4
\]