Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện từng yêu cầu.

### a) Tìm \( m \) để đồ thị hàm số đi qua điểm \( A(3; 1) \)
Hàm số bậc nhất có dạng:

\[
y = (2m - 3)x + 2
\]

Ta biết rằng điểm \( A(3, 1) \) nằm trên đồ thị hàm số, do đó ta sẽ thay \( x = 3 \) và \( y = 1 \) vào phương trình:

\[
1 = (2m - 3) \cdot 3 + 2
\]

Giải phương trình trên:

\[
1 = 3(2m - 3) + 2 \\
1 = 6m - 9 + 2 \\
1 = 6m - 7 \\
6m = 8 \\
m = \frac{4}{3}
\]

Vậy giá trị của \( m \) là \( \frac{4}{3} \). Đồ thị hàm số với \( m = \frac{4}{3} \) sẽ là:

\[
y = (2 \cdot \frac{4}{3} - 3)x + 2 = (\frac{8}{3} - 3)x + 2 = -\frac{1}{3}x + 2
\]

Đồ thị của hàm số \( y = -\frac{1}{3}x + 2 \) là đường thẳng cắt trục tung tại \( y = 2 \) và có độ dốc \( -\frac{1}{3} \).

### b) Tìm \( m \) để đồ thị hàm số song song với đường thẳng \( y = -x \)
Đường thẳng \( y = -x \) có hệ số góc \( -1 \). Để hai đồ thị song song, hệ số góc của hàm số bậc nhất cũng phải bằng \( -1 \):

\[
2m - 3 = -1
\]

Giải phương trình trên:

\[
2m = 2 \\
m = 1
\]

Vậy giá trị của \( m \) là \( 1 \).

### c) Tìm \( m \) để đồ thị hàm số cắt đường thẳng \( y = -x \)
Để tìm điểm cắt, ta đặt hai hàm số bằng nhau:

\[
(2m - 3)x + 2 = -x
\]

Giải phương trình:

\[
(2m - 3 + 1)x + 2 = 0 \\
(2m - 2)x + 2 = 0
\]

Giải phương trình này cho \( x \):

\[
(2m - 2)x = -2 \\
x = \frac{-2}{2m - 2} = \frac{-1}{m - 1}
\]

Điều này cho thấy hàm số cắt đường thẳng \( y = -x \) cho mọi giá trị của \( m \) khác \( 1 \).

### d) Tìm \( m \) để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( 3 \)
Để hàm số cắt trục tung tại \( y = 3 \), ta cần:

\[
y = (2m - 3) \cdot 0 + 2 = 3 \\
2 = 3
\]

Phương trình này không có nghiệm.

Vì vậy, không có giá trị nào của \( m \) làm cho đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( 3 \).

Tóm lại:
- a) \( m = \frac{4}{3} \)
- b) \( m = 1 \)
- c) \( m \neq 1 \) để cắt đường thẳng
- d) Không có giá trị \( m \) nào cần thiết.