Để giải bài toán này, ta thực hiện theo từng phần yêu cầu.

### 1) Tính giá trị của biểu thức A khi \( x = 4 \):

Biểu thức A là:
\[
A = \frac{3}{\sqrt{x - 1}}
\]
Khi \( x = 4 \):
\[
A = \frac{3}{\sqrt{4 - 1}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}
\]

### 2) Rút gọn biểu thức \( P = B - A \):

Trước tiên, tính biểu thức B:
\[
B = -\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + 1}} + \frac{6}{x - 1}
\]

Sau đó, thay \( A \) và \( B \) vào biểu thức \( P \):
\[
P = B - A = \left(-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + 1}} + \frac{6}{x - 1}\right) - \frac{3}{\sqrt{x - 1}}
\]

Rút gọn \( P \):
\[
P = -\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + 1}} + \frac{6}{x - 1} - \frac{3}{\sqrt{x - 1}}
\]

### 3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P:

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \), ta cần phân tích các trường hợp hoặc tìm điểm cực trị bằng cách lấy đạo hàm và giải phương trình đạo hàm bằng 0.

Xét đạo hàm của \( P \):
\[
P' = \text{đạo hàm của } B - \text{đạo hàm của } A
\]
Sau khi tìm \( P' \), giải phương trình \( P' = 0 \) để tìm các điểm cực trị, rồi xác định giá trị tại các điểm đó và biên để tìm giá trị nhỏ nhất.

Từ đó, ta sẽ tìm ra giá trị nhỏ nhất của \( P \).

### Ghi chú:

Quá trình rút gọn và tính đạo hàm sẽ cần thêm không gian và thời gian tính toán chi tiết hơn, nên có thể cần dùng thêm các bước trung gian nếu bạn muốn cụ thể hơn.