Để giải phương trình \(|x^2 + |2x - 1|| = x^2 + 3\), ta xét từng trường hợp cho giá trị của biểu thức trong giá trị tuyệt đối.

1. **Trường hợp 1:** \(2x - 1 \geq 0\) (tức là \(x \geq 0.5\))
- Khi đó, \(|2x - 1| = 2x - 1\).
- Phương trình trở thành: \(|x^2 + (2x - 1)| = x^2 + 3\).

2. **Trường hợp 1.1:** Nếu \(x^2 + (2x - 1) \geq 0\) (tức là \(x^2 + 2x - 1 \geq 0\)), phương trình trở thành:
\[
x^2 + 2x - 1 = x^2 + 3 \implies 2x - 1 = 3 \implies 2x = 4 \implies x = 2.
\]
Kiểm tra điều kiện: \(2 \geq 0.5\) (đúng).

3. **Trường hợp 1.2:** Nếu \(x^2 + (2x - 1) < 0\), không tồn tại giá trị hợp lệ trong trường hợp này vì giá trị tuyệt đối không thể âm.

4. **Trường hợp 2:** \(2x - 1 < 0\) (tức là \(x < 0.5\))
- Khi đó, \(|2x - 1| = -(2x - 1) = -2x + 1\).
- Phương trình trở thành: \(|x^2 + (-2x + 1)| = x^2 + 3\).

5. **Trường hợp 2.1:** Nếu \(x^2 - 2x + 1 \geq 0\) (tức là \((x-1)^2 \geq 0\), luôn đúng).
- Ta có: \(x^2 - 2x + 1 = x^2 + 3\) dẫn đến:
\[
-2x + 1 = 3 \implies -2x = 2 \implies x = -1.
\]
Kiểm tra điều kiện: \(-1 < 0.5\) (đúng).

6. **Tóm tắt kết quả:** Giá trị của \(x\) thỏa mãn phương trình là:
\[
x = 2 \quad \text{và} \quad x = -1.
\]

Vậy \(\boxed{2 \text{ và } -1}\) là các giá trị của \(x\).