Tính

Để tính biểu thức trong hình, ta sẽ truy cập vào các chuỗi và công thức đã cho.

Bắt đầu với biểu thức \(S = \frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{5} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + ...\).

Ta nhận thấy rằng các số hạng đầu tiên là các số phân số tương ứng với các số tự nhiên.

Tiếp theo, biểu thức thứ hai liên quan đến chuỗi \( \frac{1}{2} (1+x) + \frac{1}{3} (1+2+3) + \frac{1}{4} (1+2+3+4) + ... + \frac{1}{2025} (1+2+3+...+2025) \).

Công thức cho tổng chuỗi số tự nhiên là:

\[
1 + 2 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}
\]

Vậy tổng của \(1 + 2 + ... + k\) là:

\[
\frac{k(k+1)}{2}
\]

Do đó, ta có thể viết lại biểu thức thành:

\[
S = \sum_{k=1}^{2025} \frac{1}{k} \cdot \frac{k(k+1)}{2} = \sum_{k=1}^{2025} \frac{k+1}{2}
\]

Khi tính tổng này:

\[
= \frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^{2025} k + \sum_{k=1}^{2025} 1 \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{2025 \cdot 2026}{2} + 2025 \right)
\]

Tiếp tục thực hiện các phép tính:

\[
= \frac{1}{2} \left( \frac{2025 \cdot 2026 + 4050}{2} \right)
\]

Phép toán này có thể được rút gọn và tính toán để có giá trị cuối cùng.

Cuối cùng, bạn chỉ cần tính toán và rút gọn để có được kết quả.