Cho biểu thức A

Ta sẽ tiến hành giải bài toán theo từng phần.

### a) Rút gọn A

Đầu tiên, viết lại biểu thức \( A \):

\[
A = \left( \frac{x}{x^2 - 4} + \frac{1}{x + 2} - \frac{2}{x - 2} \right) \cdot \left( 1 - \frac{x}{x + 2} \right)
\]

**Bước 1: Rút gọn từng phần trong biểu thức**

1. **Rút gọn \( \frac{x}{x^2 - 4} \)**:
- \( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \), do đó:
\[
\frac{x}{x^2 - 4} = \frac{x}{(x - 2)(x + 2)}
\]

2. **Rút gọn \( \frac{1}{x + 2} \)**: không thay đổi.

3. **Rút gọn \( - \frac{2}{x - 2} \)**: không thay đổi.

**Bước 2: Tìm mẫu số chung của phần đầu**:
Mẫu số chung là \( (x - 2)(x + 2) \).

Ta có:
\[
\frac{x}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{1}{x + 2} - \frac{2}{x - 2} = \frac{x + (x - 2) - 2(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)}
\]
\[
= \frac{x + x - 2 - 2x - 4}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{-6}{(x - 2)(x + 2)}
\]

**Bước 3: Rút gọn phần còn lại**:
\[
1 - \frac{x}{x + 2} = \frac{(x + 2) - x}{x + 2} = \frac{2}{x + 2}
\]

**Bước 4: Kết hợp lại**:
\[
A = \frac{-6}{(x - 2)(x + 2)} \cdot \frac{2}{x + 2} = \frac{-12}{(x - 2)(x + 2)^2}
\]

### b) Tính giá trị của A khi \( x = -4 \)

Thay \( x = -4 \) vào biểu thức đã rút gọn:

\[
A = \frac{-12}{(-4 - 2)(-4 + 2)^2} = \frac{-12}{(-6)(-2)^2} = \frac{-12}{-6 \cdot 4} = \frac{-12}{-24} = \frac{1}{2}
\]

### c) Tìm các giá trị nguyên của \( x \) để \( A \) có giá trị là số nguyên

Để \( A = \frac{-12}{(x - 2)(x + 2)^2} \) là số nguyên, mẫu số \( (x - 2)(x + 2)^2 \) phải là một ước của -12.

**Các ước của -12**: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Ta cần tìm ra các giá trị nguyên của \( x \):

1. \( (x - 2)(x + 2)^2 = \pm 1 \)
2. \( (x - 2)(x + 2)^2 = \pm 2 \)
3. \( (x - 2)(x + 2)^2 = \pm 3 \)
4. \( (x - 2)(x + 2)^2 = \pm 4 \)
5. \( (x - 2)(x + 2)^2 = \pm 6 \)
6. \( (x - 2)(x + 2)^2 = \pm 12 \)

Giải từng trường hợp này để tìm ra các giá trị nguyên của \( x \). Tùy thuộc vào phương trình mà ta sẽ có các giá trị khác nhau.

Bạn có thể thử từng giá trị sau khi thiết lập các phương trình từ mẫu số để xem giá trị nào là số nguyên.