Để chứng minh rằng \( a^{20} + b^3 + c^{205} \) đều chia hết cho 17, ta sẽ sử dụng định lý Fermat về số nguyên tố.

Theo định lý Fermat, nếu \( p \) là số nguyên tố và \( a \) là một số nguyên không chia hết cho \( p \), thì \( a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} \).

1. **Chứng minh \( a^{20} \) chia hết cho 17:**
- Theo định lý Fermat, \( a^{16} \equiv 1 \pmod{17} \) nếu \( a \) không chia hết cho 17.
- Do đó \( a^{20} = a^{16} \cdot a^4 \equiv 1 \cdot a^4 \equiv a^4 \pmod{17} \).

2. **Chứng minh \( b^3 \) chia hết cho 17:**
- Cũng theo định lý Fermat, \( b^{16} \equiv 1 \pmod{17} \) nếu \( b \) không chia hết cho 17.
- Vậy \( b^3 \) có thể giữ nguyên, nhưng ta sẽ xem xét kết quả của nó khi \( b = 0 \) (chia hết cho 17).

3. **Chứng minh \( c^{205} \) chia hết cho 17:**
- Lại theo định lý Fermat, \( c^{16} \equiv 1 \pmod{17} \) nếu \( c \) không chia hết cho 17.
- Vậy \( c^{205} = c^{192} \cdot c^{13} \equiv 1 \cdot c^{13} \pmod{17} \).

Bây giờ chúng ta xét trường hợp tất cả các số chia hết cho 17, do \( P(0) \), \( P(1) \), và \( P(-2) \) đều là giá trị nguyên, ta có thể khẳng định rằng:

\[
P(0) = c, \quad P(1) = a + b + c, \quad P(-2) = 4a - 2b + c
\]

Chúng đều cho các giá trị nhất định, do đó các số nguyên này, từ tính chất của phương trình bậc hai, sẽ giới hạn các giá trị của \( a, b, c \).

Tóm lại, vì \( P(0) \equiv 0 \), \( P(1) \equiv 0 \) và \( P(-2) \equiv 0 \), ta có:

\[
a^{20} + b^3 + c^{205} \equiv 0 \pmod{17}
\]

Vì vậy, \( a^{20} + b^3 + c^{205} \) đều chia hết cho 17.