Chứng minh bài toán này có thể thực hiện như sau:

**Cho**: Đường thẳng \( d \) là trung trực của đoạn thẳng \( AB \). Điểm \( M \) không thuộc đường thẳng \( d \) và đoạn thẳng \( AB \) sao cho đường thẳng \( d \) cắt đoạn thẳng \( MB \) tại điểm \( I \).

**Cần chứng minh**:
1. \( MB = MA + MI \)
2. \( MA < MB \)

### Bước 1: Chứng minh \( MB = MA + MI \)

Ta có đoạn thẳng \( MB \) được chia thành hai đoạn \( MA \) và \( MI \) tại điểm \( I \). Theo định nghĩa về đoạn thẳng, ta có:
\[
MB = MA + AI
\]
Mà vì \( d \) là trung trực của \( AB \), nên \( AI = BI \) (qua định nghĩa của trung trực, điểm I cách đều hai điểm A và B).

Do đó, ta khẳng định được rằng:
\[
MB = MA + MI
\]

### Bước 2: Chứng minh \( MA < MB \)

Do \( M \) không thuộc đường thẳng \( d \) và \( I \) nằm giữa \( M \) và \( B \) trên đường thẳng \( MB \), tức là:
- \( MA \) là khoảng cách từ \( M \) đến điểm \( A \)
- \( MB \) là khoảng cách từ \( M \) đến điểm \( B \), nhưng do kèm theo điều kiện \( A \) và \( B \) không trùng nhau cũng như không đồng thẳng với \( M \), cho thấy \( MA < MB \).

Mặt khác, theo tính chất của đường trung trực, \( M \) khi di chuyển sẽ làm cho \( MA \) và \( MB \) có mối quan hệ không đổi, mà cụ thể là \( MA \) sẽ luôn nhỏ hơn \( MB \).

### Kết luận

Vậy ta đã chứng minh được:
1. \( MB = MA + MI \)
2. \( MA < MB \)

Hoàn thành chứng minh yêu cầu của bài toán.