Để giải bài toán này, trước hết ta sẽ thực hiện các bước cần thiết cho từng phần:

### a) Tính \( A : B \)

Đặt \( A = x^3 + 4x^2 + 3x - 7 \) và \( B = x + 4 \).

**Bước 1:** Thực hiện phép chia đa thức \( A \) cho \( B \) bằng phương pháp chia đa thức.

1. **Chia hệ số đứng đầu**
- Chia \( x^3 \) cho \( x \) được \( x^2 \).

2. **Nhân và trừ**
- Nhân \( x^2 \) với \( B \):
\[
x^2(x + 4) = x^3 + 4x^2
\]
- Trừ đi từ \( A \):
\[
(x^3 + 4x^2 + 3x - 7) - (x^3 + 4x^2) = 3x - 7
\]

3. **Lặp lại**
- Chia \( 3x \) cho \( x \) được \( 3 \).
- Nhân \( 3 \) với \( B \):
\[
3(x + 4) = 3x + 12
\]
- Trừ đi:
\[
(3x - 7) - (3x + 12) = -19
\]

**Kết quả của phép chia:**
\[
A : B = x^2 + 3 - \frac{19}{x + 4}
\]

### b) Tìm \( x \in \mathbb{Z} \) sao cho \( A \) chia hết cho \( B \)

Để \( A \) chia hết cho \( B \), ta cần điều kiện là phần dư khi chia \( A \) cho \( B \) bằng 0. Tức là, ta cần giải phương trình:
\[
-19 = 0 \quad \text{(điều này không có nghiệm)}
\]
Thay vào đó, ta tìm giá trị của \( x \) sao cho \( B = 0 \):
\[
x + 4 = 0 \implies x = -4
\]

Kiểm tra giá trị này:
\[
A(-4) = (-4)^3 + 4(-4)^2 + 3(-4) - 7 = -64 + 64 - 12 - 7 = -19 \quad (\text{không chia hết})
\]

Vì vậy, không có giá trị nào \( x \in \mathbb{Z} \) sao cho \( A \) chia hết cho \( B \).

Kết luận:
- \( A : B = x^2 + 3 - \frac{19}{x + 4} \)
- Không có \( x \in \mathbb{Z} \) sao cho \( A \) chia hết cho \( B \).