Để tính độ dài BD và CD trong bài toán này, ta cần sử dụng một số kiến thức cơ bản về hình học, đặc biệt là trong tam giác vuông.

### a. Tính độ dài BC:

Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ACB:

\[
BC = \sqrt{AC^2 + AB^2} = \sqrt{12^2 + 8^2} = \sqrt{144 + 64} = \sqrt{208} = 4\sqrt{13}
\]

### b. Tính tỷ số \( \frac{BD}{DC} \):

Giả sử D là trung điểm của BC (vì đề bài không xác định rõ vị trí của D trên BC):

\[
BD = DC = \frac{BC}{2} = \frac{4\sqrt{13}}{2} = 2\sqrt{13}
\]

Vậy:

\[
\frac{BD}{DC} = \frac{2\sqrt{13}}{2\sqrt{13}} = 1
\]

### c. Chứng minh: \( \triangle ABC \sim \triangle ADE \)

Để chứng minh hai tam giác này đồng dạng, cần kiểm tra các góc tương ứng. Nếu AD vuông góc với BC và DE vuông góc với AC, thì \( \triangle ABC \sim \triangle ADE \) vì có hai góc giống nhau.

### d. Tính độ dài DE:

Bên cạnh những thông tin đã biết, ta cần thêm thông tin về cách D và E nằm trong mối tương quan với nhau và với các cạnh của tam giác để có thể tính độ dài DE.

Nếu có thêm thông tin về kích thước hoặc tỷ lệ giữa các cạnh, ta có thể sử dụng định lý hình học khác để tính.

Nếu bạn có thêm thông tin về hình vẽ hoặc các dữ liệu khác trong bài toán, xin hãy bổ sung để mình có thể hỗ trợ tốt hơn!