Để tìm phân số \( \frac{a}{b} \) sao cho \( a + b = 55 \) và sau khi rút gọn \( \frac{a}{b} \) ta được \( \frac{2}{3} \), ta thực hiện các bước sau:

1. Biết rằng \( \frac{a}{b} = \frac{2}{3} \) sau khi rút gọn, nên ta có thể viết:
\[
a = 2k \quad \text{và} \quad b = 3k
\]
với \( k \) là một số nguyên dương.

2. Thay vào điều kiện \( a + b = 55 \):
\[
2k + 3k = 55
\]
\[
5k = 55
\]
\[
k = 11
\]

3. Tính giá trị của \( a \) và \( b \):
\[
a = 2k = 2 \times 11 = 22
\]
\[
b = 3k = 3 \times 11 = 33
\]

4. Kiểm tra lại điều kiện:
\[
a + b = 22 + 33 = 55 \quad \text{(đúng)}
\]

Và phân số:
\[
\frac{a}{b} = \frac{22}{33}
\]
Sau khi rút gọn ta có:
\[
\frac{22}{33} = \frac{2}{3} \quad \text{(đúng)}
\]

Vậy phân số cần tìm là \( \frac{22}{33} \).