Để xử lý bài toán trên, ta sẽ thực hiện hai phần:

### a. Rút gọn biểu thức \( Q \)
Biểu thức \( Q \) được cho là:
\[
Q = \frac{3x^2 + 6x}{x^3 + 2x^2 + x + 2}
\]

#### 1. Rút gọn tử số
Tử số là \( 3x^2 + 6x = 3x(x + 2) \).

#### 2. Rút gọn mẫu số
Mẫu số là \( x^3 + 2x^2 + x + 2 \). Ta sẽ tìm cách phân tích mẫu số.

Áp dụng phương pháp chia nhiều lần hoặc thử nghiệm các giá trị có thể, ta nhận thấy \( x = -2 \) là một nghiệm. Do đó, ta có thể phân tích mẫu số như sau:
\[
x^3 + 2x^2 + x + 2 = (x + 2)(x^2 + ax + b)
\]
Giải hệ phương trình này để tìm \( a \) và \( b \):
1. Gần như bạn sẽ có \( a = 1 \), \( b = 1 \), từ đó nhận được:
\[
x^3 + 2x^2 + x + 2 = (x + 2)(x^2 + 1)
\]

#### 3. Thay vào biểu thức \( Q \)
Vậy ta có:
\[
Q = \frac{3x(x + 2)}{(x + 2)(x^2 + 1)}
\]
Vì \( x \neq -2 \), ta có thể rút gọn:
\[
Q = \frac{3x}{x^2 + 1}
\]

### b. Tính giá trị của \( Q \) khi \( x = -4 \)
Thay \( x = -4 \) vào biểu thức rút gọn \( Q \):
\[
Q = \frac{3(-4)}{(-4)^2 + 1} = \frac{-12}{16 + 1} = \frac{-12}{17}
\]

### Kết luận
1. Biểu thức rút gọn là \( Q = \frac{3x}{x^2 + 1} \).
2. Giá trị của \( Q \) khi \( x = -4 \) là \( \frac{-12}{17} \).