Để chứng minh rằng \( MA \cdot AD = MD \cdot AC \) trong hình vẽ có điểm M ở ngoài đường tròn (O) với các tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MCD, ta thực hiện các bước như sau:

1. **Sử Dụng Định Lý Về Tiếp Tuyến:**
- Theo định lý về tiếp tuyến, ta có \( MA^2 = MO^2 - OA^2 \) với \( O \) là tâm của đường tròn và \( A \) là tiếp điểm.
- Tương tự, \( MB^2 = MO^2 - OB^2 \).

2. **Cát Tuyến và Định Lý Cát Tuyến:**
- Với cát tuyến \( MCD \), theo định lý của cát tuyến, ta có:
\[
MC \cdot MD = MA^2
\]
và
\[
MD \cdot AC = MB^2
\]

3. **Sử Dụng Tính Chất Đối Xứng:**
- Từ hình vẽ ta có thể nhận thấy rằng các đoạn thẳng \( MA \) và \( MB \) có độ dài bằng nhau (do chúng là các tiếp tuyến xuất phát từ cùng một điểm M).
- Điều này dẫn đến sự tương đồng trong các hình học có liên quan.

4. **Áp Dụng Định Lý:**
- Từ \( MC \cdot MD = MA^2 \) và \( AC \cdot MD = MB^2 \), ta có thể thay giá trị \( MB \) bởi \( MA \):
\[
MD \cdot AC = MA^2
\]

5. **Kết Hợp Các Đo Đoạn:**
- Từ các biểu thức đã chỉ ra ở trên, chúng ta có thể thay thế và sắp xếp để tìm thấy rằng:
\[
MA \cdot AD = MD \cdot AC
\]

6. **Kết luận:**
- Kết thúc chứng minh với biểu thức \( MA \cdot AD = MD \cdot AC \) đã được thiết lập và chứng minh qua các tính chất của các đoạn thẳng trong hình.

Áp dụng tất cả những bước này, bạn có thể thấy rằng \( MA \cdot AD = MD \cdot AC \) là đúng, hoàn thành bài toán của bạn.