Để thực hiện phép chia đa thức \( (2x^4 + 4x^3 - 3x^2 - 4x + 1) \) cho \( (x^2 - 1) \), ta có thể sử dụng phương pháp chia đa thức.

1. **Bước 1**: Chia hệ số đầu của đa thức bị chia cho hệ số đầu của đa thức chia.

Chia \( 2x^4 \) cho \( x^2 \) ta được \( 2x^2 \).

2. **Bước 2**: Nhân \( 2x^2 \) với \( x^2 - 1 \):

\[
2x^2 \cdot (x^2 - 1) = 2x^4 - 2x^2
\]

3. **Bước 3**: Trừ kết quả này từ đa thức ban đầu:

\[
(2x^4 + 4x^3 - 3x^2 - 4x + 1) - (2x^4 - 2x^2) = 4x^3 - 3x^2 + 2x^2 - 4x + 1 = 4x^3 - x^2 - 4x + 1
\]

4. **Bước 4**: Lặp lại các bước với phần còn lại \( 4x^3 - x^2 - 4x + 1 \).

Chia \( 4x^3 \) cho \( x^2 \) ta được \( 4x \).

5. **Bước 5**: Nhân \( 4x \) với \( x^2 - 1 \):

\[
4x \cdot (x^2 - 1) = 4x^3 - 4x
\]

6. **Bước 6**: Trừ kết quả này từ phần còn lại:

\[
(4x^3 - x^2 - 4x + 1) - (4x^3 - 4x) = -x^2 + 4x + 1
\]

7. **Bước 7**: Lặp lại với \( -x^2 + 4x + 1 \).

Chia \( -x^2 \) cho \( x^2 \) ta được \( -1 \).

8. **Bước 8**: Nhân \( -1 \) với \( x^2 - 1 \):

\[
-1 \cdot (x^2 - 1) = -x^2 + 1
\]

9. **Bước 9**: Trừ kết quả này từ phần còn lại:

\[
(-x^2 + 4x + 1) - (-x^2 + 1) = 4x + 1 - 1 = 4x
\]

10. **Bước 10**: Vì \( 4x \) có bậc thấp hơn \( x^2 - 1 \) (bậc 1 so với bậc 2), ta dừng lại.

### Kết quả

Vậy, thương và số dư của phép chia là:

\[
(2x^2 + 4x - 1) + \frac{4x}{x^2 - 1}
\]

Do đó, ta có:

\[
(2x^4 + 4x^3 - 3x^2 - 4x + 1) : (x^2 - 1) = 2x^2 + 4x - 1 + \frac{4x}{x^2 - 1}
\]