Để tính nhanh các biểu thức này, chúng ta sẽ xử lý từng phần một.

### a) Tính \( S = \frac{1}{2} \cdot 3 + \frac{1}{3} \cdot 4 + \frac{1}{4} \cdot 5 + \frac{1}{5} \cdot 6 + \frac{1}{6} \cdot 7 \)

Ta có thể viết lại từng phần tử trong biểu thức như sau:

\[
S = \frac{3}{2} + \frac{4}{3} + \frac{5}{4} + \frac{6}{5} + \frac{7}{6}
\]

Bây giờ ta sẽ tính từng phần:

1. \( \frac{3}{2} = 1.5 \)
2. \( \frac{4}{3} \approx 1.3333 \)
3. \( \frac{5}{4} = 1.25 \)
4. \( \frac{6}{5} = 1.2 \)
5. \( \frac{7}{6} \approx 1.1667 \)

Bây giờ cộng tất cả:

\[
S \approx 1.5 + 1.3333 + 1.25 + 1.2 + 1.1667 \approx 6.45
\]

### b) Tính \( A = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \frac{1}{81} + \frac{1}{243} \)

Biểu thức này là một chuỗi số học của cấp số nhân với số hạng đầu là \( \frac{1}{3} \) và tỷ số chung \( \frac{1}{3} \). Số hạng cuối cùng là \( \frac{1}{243} \) có thể viết lại như \( \frac{1}{3^5} \).

Số hạng sẽ là \( n \) = 5 (có 5 số hạng: \( \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \frac{1}{81}, \frac{1}{243} \)).

Công thức tổng của cấp số nhân là:

\[
S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}
\]

Trong đó:

- \( a = \frac{1}{3} \)
- \( r = \frac{1}{3} \)
- \( n = 5 \)

Áp dụng vào công thức:

\[
A = \frac{\frac{1}{3}(1 - (\frac{1}{3})^5)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}(1 - \frac{1}{243})}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{243})
\]

Tính tiếp:

\[
= \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{243 - 1}{243}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{242}{243} = \frac{121}{243}
\]

Vậy kết quả là:

### Kết quả:
a) \( S \approx 6.45 \)

b) \( A = \frac{121}{243} \)