Chúng ta sẽ tính từng biểu thức một:

### Biểu thức 1:
\[
\frac{4}{5} : \frac{3}{7} \times \frac{3}{7} : \frac{4}{5} + 201
\]

Bắt đầu với phần chia và nhân:
1. \(\frac{4}{5} : \frac{3}{7} = \frac{4}{5} \times \frac{7}{3} = \frac{4 \times 7}{5 \times 3} = \frac{28}{15}\)
2. \(\frac{3}{7} : \frac{4}{5} = \frac{3}{7} \times \frac{5}{4} = \frac{3 \times 5}{7 \times 4} = \frac{15}{28}\)
3. Bây giờ, kết hợp lại:
\[
\frac{28}{15} \times \frac{15}{28} = 1
\]
4. Cuối cùng cộng thêm 201:
\[
1 + 201 = 202
\]

### Kết quả biểu thức 1:
\[
202
\]

---

### Biểu thức 2:
\[
\frac{4}{13} : \frac{1}{15} \times \frac{1}{15} : \frac{4}{13}
\]

Tương tự, tiến hành tính:
1. \(\frac{4}{13} : \frac{1}{15} = \frac{4}{13} \times 15 = \frac{60}{13}\)
2. \(\frac{1}{15} : \frac{4}{13} = \frac{1}{15} \times \frac{13}{4} = \frac{13}{60}\)
3. Kết hợp lại:
\[
\frac{60}{13} \times \frac{13}{60} = 1
\]

### Kết quả biểu thức 2:
\[
1
\]

---

### Biểu thức 3:
\[
\frac{3}{4} \times \frac{6}{7} \times \frac{16}{3} \times \frac{42}{7}
\]

Thực hiện từng bước:
1. Nhân các phân số lại với nhau:
\[
\frac{3 \times 6 \times 16 \times 42}{4 \times 7 \times 3 \times 7}
\]
2. Đơn giản hóa phần tử:
- \(3\) ở tử số và mẫu số bị hủy
- \(\frac{6}{42} = \frac{1}{7}\)
- \(7 \times 7 = 49\)

Kết quả cuối cùng là:
\[
\frac{1 \times 16}{4 \times 7} = \frac{16}{28} = \frac{4}{7}
\]

### Kết quả biểu thức 3:
\[
\frac{4}{7}
\]

---

Tổng kết lại kết quả ba biểu thức:
1. Biểu thức 1: \(202\)
2. Biểu thức 2: \(1\)
3. Biểu thức 3: \(\frac{4}{7}\)