Để phương trình bậc hai \( x^2 - 6x + m = 0 \) có 2 nghiệm phân biệt \( x_1 \) và \( x_2 \), điều kiện cần thiết là discriminant (định thức) của phương trình phải dương. Discriminant được tính bằng:

\[
D = b^2 - 4ac
\]
Trong trường hợp này, \( a = 1 \), \( b = -6 \), và \( c = m \). Do đó:

\[
D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = 36 - 4m
\]
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt, ta cần:

\[
D > 0 \Rightarrow 36 - 4m > 0
\]
Suy ra:

\[
36 > 4m \Rightarrow m < 9
\]

Tiếp theo, theo bài toán, chúng ta có hệ thức:

\[
3x_1 + 2x_2 = 20
\]

Ta sẽ áp dụng công thức Viète:

- Tổng nghiệm \( x_1 + x_2 = 6 \)
- Tích nghiệm \( x_1 x_2 = m \)

Từ tổng nghiệm, ta có thể biểu diễn \( x_2 \) thông qua \( x_1 \):

\[
x_2 = 6 - x_1
\]

Thay vào hệ thức \( 3x_1 + 2x_2 = 20 \):

\[
3x_1 + 2(6 - x_1) = 20
\]
Giải phương trình này:

\[
3x_1 + 12 - 2x_1 = 20 \\
x_1 + 12 = 20 \\
x_1 = 8
\]

Thay giá trị \( x_1 \) vào công thức Viète để tìm \( x_2 \):

\[
x_2 = 6 - x_1 = 6 - 8 = -2
\]

Giờ ta tính tích nghiệm:

\[
x_1 x_2 = 8 \cdot (-2) = -16
\]

Vậy \( m = x_1 x_2 = -16 \).

Kiểm tra điều kiện:

Từ điều kiện \( m < 9 \):

\[
-16 < 9
\]

Điều này thỏa mãn. Do đó, giá trị của \( m \) là:

\[
\boxed{-16}
\]