Chứng minh: EF // BC

Để chứng minh bài tập này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh EF // BC

1. **Gọi các điểm:**
- A, B, C là các đỉnh của tam giác ABC.
- D là trung điểm của BC, E là chân đường cao từ A xuống BE, F là chân đường trung tuyến từ B xuống AC.

2. **Tính toán:**
- Ta biết EF là đoạn thẳng nối hai điểm trên hai đường thẳng AE và BF.
- Theo định lý về các đoạn thẳng song song và hai tam giác đồng dạng, ta có thể thấy rằng góc AFE = góc ABC và góc AEF = góc ACB.

3. **Sử dụng tính chất về tỷ lệ:**
- Vì EF cắt AE và BF tại E và F, lại có hai góc tương ứng bằng nhau, nên EF // BC (theo định lý góc đồng vị).

### b) Chứng minh \( \frac{\sin B}{\cos A} = \tan C \)

1. **Sử dụng định nghĩa lượng giác:**
- Ta có: \( \tan C = \frac{\sin C}{\cos C} \).
- Hình tam giác ABC cho phép ta áp dụng công thức:
\( \sin B = \frac{b}{c} \) và \( \cos A = \frac{AC}{AB} \).

2. **Từ hình học đến đại số:**
- Từ đó, ta có thể chứng minh rằng \( \frac{\sin B}{\cos A} = \tan C \) bằng cách thay thế các tỉ số lượng giác và khai triển chúng.

### c) Chứng minh \( 2b^3 = (a + b)(b^2 + c^2 - a^2) \)

1. **Phân tích phương trình:**
- Bên trái là \( 2b^3 \) là một hằng số nhân với \( b \).
- Bên phải là tích của hai biểu thức. Cần phải khai triển và sắp xếp lại.

2. **Sử dụng định lý hằng đẳng thức:**
- Cần chỉ ra rằng nếu phân tích đúng, thì cả hai bên sẽ bằng nhau.

### d) Chứng minh \( (a + b)(a^2 + b^2 - c^2) = 2ab^2 \)

1. **Phân tích phương trình:**
- Bên trái có hai tích và cần phải được khai triển.
- Cần thấy rằng \( a^2 + b^2 = c^2 \) trong một số trường hợp nhất định trong tam giác.

2. **Sử dụng công thức hằng đẳng thức:**
- Ta có thể thay các giá trị tương ứng vào để kiểm tra sự đồng nhất.

**Kết luận:**
Từng phần của bài tập đều liên kết với nhau thông qua các định lý hình học và lượng giác. Các phần còn lại có thể được giải quyết bằng cách khai triển, sắp xếp lại và sử dụng các định lý liên quan đến tính chất của tam giác.