Để giải phương trình \( \frac{x + 3}{2 + x} = 6 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Nhân chéo**: Nhân cả hai bên của phương trình với \( 2 + x \) (giả sử \( 2 + x \neq 0 \)):
\[
x + 3 = 6(2 + x)
\]

2. **Mở rộng bên phải**:
\[
x + 3 = 12 + 6x
\]

3. **Đưa các hạng tử chứa \( x \) về một phía**: Trừ \( x \) từ cả hai bên:
\[
3 = 12 + 5x
\]

4. **Đưa số hạng tự do về một phía**: Trừ 12 từ cả hai bên:
\[
3 - 12 = 5x \implies -9 = 5x
\]

5. **Giải cho \( x \)**:
\[
x = -\frac{9}{5}
\]

Vậy nghiệm của phương trình là \( x = -\frac{9}{5} \).

**Kiểm tra**:

Ta có thể thay \( x = -\frac{9}{5} \) vào phương trình ban đầu để kiểm tra:

\[
\frac{-\frac{9}{5} + 3}{2 - \frac{9}{5}} = \frac{-\frac{9}{5} + \frac{15}{5}}{2 - \frac{9}{5}} = \frac{\frac{6}{5}}{\frac{1}{5}} = 6
\]

Cả hai bên đều bằng 6, vì vậy nghiệm \( x = -\frac{9}{5} \) là đúng.