Để chứng minh bất đẳng thức \( a^2 + b^2 \geq \frac{1}{2} \) với điều kiện \( a, b > 0 \) và \( a + b = 1 \), chúng ta có thể dùng một số cách chứng minh khác nhau. Một trong những cách đơn giản là sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Theo điều kiện \( a + b = 1 \), ta có thể thay \( b \) bằng \( 1 - a \). Ta thay vào biểu thức cần chứng minh:

\[
a^2 + b^2 = a^2 + (1 - a)^2
\]

Tính biểu thức \( (1 - a)^2 \):

\[
(1 - a)^2 = 1 - 2a + a^2
\]

Vậy

\[
a^2 + b^2 = a^2 + 1 - 2a + a^2 = 2a^2 - 2a + 1
\]

Bây giờ, ta cần chứng minh rằng \( 2a^2 - 2a + 1 \geq \frac{1}{2} \). Để làm được điều này, hãy viết lại bất đẳng thức:

\[
2a^2 - 2a + 1 - \frac{1}{2} \geq 0
\]
\[
2a^2 - 2a + \frac{1}{2} \geq 0
\]

Ta có thể nhân toàn bộ bất đẳng thức với 2 để loại bỏ phân số:

\[
4a^2 - 4a + 1 \geq 0
\]

Để kiểm tra bất đẳng thức này, ta xem xét biểu thức đa thức \( 4a^2 - 4a + 1 \). Để tìm nghiệm của phương trình \( 4a^2 - 4a + 1 = 0 \), ta tính discriminant:

\[
D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 - 16 = 0
\]

Vì \( D = 0 \), phương trình có một nghiệm duy nhất:

\[
a = \frac{4}{2 \cdot 4} = \frac{1}{2}
\]

Tại \( a = \frac{1}{2} \), giá trị \( b = 1 - a = \frac{1}{2} \).

Giá trị của \( 4a^2 - 4a + 1 \) là:

\[
4 \left( \frac{1}{2} \right)^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} + 1 = 4 \cdot \frac{1}{4} - 2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0
\]

Vì vậy, \( 4a^2 - 4a + 1 \geq 0 \) với mọi \( a \in (0, 1) \), do đa thức này có dạng như vậy.

Vậy ta có:

\[
a^2 + b^2 \geq \frac{1}{2}
\]

Suy ra, ta đã chứng minh xong bất đẳng thức \( a^2 + b^2 \geq \frac{1}{2} \) khi \( a, b > 0 \) và \( a + b = 1 \).