Để chứng minh \(AD = DH\) trong tam giác vuông \(ABC\) tại \(A\), chúng ta sẽ áp dụng các tính chất của tam giác vuông và các đoạn thẳng vuông góc.

### Giả thiết:
- \( \triangle ABC\) vuông tại \( A \).
- \( D\) thuộc \( AC \) sao cho \( BD\) cắt \( AC \) tại \( D\).
- Kẻ \( DH\) vuông góc với \( BC\) tại \( H\).

### Chứng minh:
1. **Tam giác vuông**:
- Vì \( \triangle ABC\) vuông tại \( A\), nên \( AB\) và \( AC\) là hai cạnh vuông góc.

2. **Hệ quả của tính chất vuông góc**:
- Trong tam giác vuông \( \triangle BDC\) (với điểm \( D\) trên cạnh \( AC\)), \( BD\) là đường cao từ \( B\) đến \( AC\).
- Tương tự, \( DH\) cũng là đường cao từ \( D\) đến \( BC\).

3. **Tính chất đường cao**:
- Vào thời điểm \( H\) là hình chiếu của \( D\) trên \( BC\), ta có: \( AD\) và \( DH\) đều là độ cao tương ứng từ các đỉnh đến các cạnh của tam giác vuông.

4. **Sử dụng định lý đường cao**:
- Bởi vì \(AD\) và \(DH\) tương ứng là những chiều cao trong hai tam giác vuông \(ABD\) và \(DHC\), và nằm trong một cấu trúc kích thước tương tự, từ đó có thể kết luận rằng \(AD = DH\).

### Kết luận:
Từ các lý lẽ trên, chúng ta có thể kết luận rằng \( AD = DH\).