Để giải quyết bài toán, chúng ta sẽ lần lượt giải từng yêu cầu một.

### a) Chứng minh: ∆HBA ~∆ABC.

Trong tam giác \( \triangle ABC \), \( A \) là điểm vuông góc tại \( A \), và \( \angle ABC = 60^\circ \). Khi vẽ đường cao \( AH \), ta có:

1. \( HA \) vuông góc với \( BC \), do định nghĩa đường cao.
2. Khi đó, \( \angle BAH = 90^\circ \) và \( \angle ABC = 60^\circ \).

Từ đó ta có:

\[
\angle AHB = 180^\circ - \angle ABC - \angle BAH = 180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ
\]

Như vậy, trong tam giác \( \triangle HBA \):

- \( \angle HBA = \angle ABC = 60^\circ \)
- \( \angle AHB = 30^\circ \)

Chúng ta sẽ có \( \angle HBA = \angle ABC \) và \( \angle AHB = \angle BAC \) (vì \( \angle BAC = 90 - 60 = 30^\circ \)).

Từ đó, theo tiêu chuẩn của tỷ lệ đồng vị và tổng ba góc của tam giác, chúng ta kết luận rằng:

\[
\triangle HBA \sim \triangle ABC
\]

### b) Chứng minh: \( AH^2 = HB \cdot HC \)

Theo định lý lượng giác trong tam giác, ta biết rằng trong tam giác vuông \( \triangle ABC \) đáy \( BC \):

\[
AH^2 = HB \cdot HC
\]

Trong tam giác \( ABC \):

- \( AB = c \)
- \( AC = b \)
- \( AH \) là đường cao hạ từ \( A \) xuống \( BC \).

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác \( \triangle AHB \) và \( \triangle AHC \):

1. Trong tam giác vuông \( \triangle AHB \):

\[
AB^2 = AH^2 + HB^2
\]

2. Trong tam giác vuông \( \triangle AHC \):

\[
AC^2 = AH^2 + HC^2
\]

Bây giờ, từ các phương trình trên, ta kết hợp để có được:

\[
AH^2 = HB \cdot HC
\]

Qua cuộc khảo sát về phần diện tích của lượng bên ngoài một đường cô đọng, ta sẽ có được chứng minh rằng \( AH^2 = HB \cdot HC \).

### c) Chứng minh tam giác AMN là tam giác đều?

Theo giả thiết, tia phân giác của góc \( \angle ABC \) cắt \( AH \) và \( AC \) lần lượt tại các điểm \( M \) và \( N \). Do \( AM \) là phân giác của \( \angle ABC \) (góc 60 độ), tức là:

\[
\angle ABM = \angle AMC = \angle ABC = 30^\circ
\]

Tương tự, \( AN \) sẽ chia \( \angle ABC \) thành 2 góc bằng \( 30^\circ \).

Khi đó:

\[
\angle AMN = 60^\circ
\]
\[
\angle ANM = 60^\circ
\]
\[
\angle NAM = 60^\circ
\]

Như vậy, tất cả các góc trong tam giác \( AMN \) bằng nhau (mỗi góc đều 60 độ), điều này chứng tỏ rằng tam giác \( AMN \) là tam giác đều.

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh được yêu cầu a), b), và c) trong bài toán.