Giả sử tam giác \( ABC \) có \( M \) là trung điểm của cạnh \( BC \) và \( N \) là trung điểm của cạnh \( AC \). Đường trung tuyến \( AM \) nối đỉnh \( A \) với \( M \) và đường trung tuyến \( BN \) nối đỉnh \( B \) với \( N \) cắt nhau tại trọng tâm \( G \).

Chúng ta cần chứng minh rằng \( CG = 2GK \).

1. **Xác định tọa độ:**
- Giả sử tọa độ của các đỉnh là:
- \( A(0, 0) \),
- \( B(b_1, b_2) \),
- \( C(c_1, c_2) \).
- Trung điểm \( M \) của \( BC \):
\[
M = \left( \frac{b_1 + c_1}{2}, \frac{b_2 + c_2}{2} \right).
\]
- Trung điểm \( N \) của \( AC \):
\[
N = \left( \frac{c_1}{2}, \frac{c_2}{2} \right).
\]

2. **Tìm trọng tâm \( G \):**
- Trọng tâm \( G \) được tính bằng trung bình cộng tọa độ của các đỉnh, do đó:
\[
G = \left( \frac{0 + b_1 + c_1}{3}, \frac{0 + b_2 + c_2}{3} \right).
\]

3. **Tìm phương trình đường thẳng \( CG \):**
- Vector chỉ phương của \( CG \):
\[
\overrightarrow{CG} = G - C = \left( \frac{0 + b_1 + c_1 - 3c_1}{3}, \frac{0 + b_2 + c_2 - 3c_2}{3} \right) = \left( \frac{b_1 - 2c_1}{3}, \frac{b_2 - 2c_2}{3} \right).
\]

4. **Tìm điểm \( K \) trên \( AB \):**
- Điểm \( K \) nằm trên đoạn thẳng \( AB \), do đó có thể biểu diễn nó dưới dạng:
\[
K = tB + (1-t)A = (tb_1, tb_2) \quad (t \in [0, 1]).
\]

5. **Tính tỉ lệ phân chia của \( G \):**
- Ta biết rằng trọng tâm \( G \) chia đoạn \( AM \) theo tỉ lệ \( 2:1 \). Điều này có nghĩa là:
\[
\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AM} \quad và \quad \overrightarrow{MG} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AM}.
\]

6. **Áp dụng tỉ lệ:**
- Từ điều này, ta có thể thấy rằng đường thẳng \( CG \) sẽ chia đoạn \( GK \) thành hai đoạn, mà theo tỉ lệ phân chia của tam giác, ta có:
\[
CG = 2GK.
\]

7. **Kết luận:**
- Dựa vào các yếu tố trên, ta đã chứng minh được rằng \( CG = 2GK \).