Chúng ta sẽ tính từng biểu thức một.

**a)** Tính tổng \( S = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \dots + \frac{1}{9900} \)

Quan sát mẫu số của các phân số:

- Mẫu số thứ nhất là 2.
- Mẫu số thứ hai là 6.
- Mẫu số thứ ba là 12.
- Mẫu số tiếp theo là 20 và cuối cùng là 9900.

Mẫu số có thể biểu diễn theo công thức \( n(n+1) \) với n lần lượt là 1, 2, 3, ..., cho đến khi \( n(n+1) = 9900 \).

Giải \( n^2 + n - 9900 = 0 \) để tìm n.
Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\[
n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 9900}}{2}
\]
\[
n = \frac{-1 \pm \sqrt{39601}}{2} \approx \frac{-1 + 199}{2} \approx 99.
\]
Vậy n = 99 nên tổng S tới \( n = 99 \) là:
\[
S = \sum_{n=1}^{99} \frac{1}{n(n+1)}.
\]
Áp dụng phân tách thành phần:
\[
\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}.
\]
Rút gọn tổng:
\[
S = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{99} - \frac{1}{100}\right).
\]
Kết quả là:
\[
S = 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}.
\]

**b)** Tính tổng:
\[ S = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \ldots + \frac{1}{1024} \]
Đây là một chuỗi số hạng hình học với số hạng đầu là \( \frac{1}{2} \) và công bội là \( \frac{1}{2} \).

Số hạng cuối \( \frac{1}{1024} \) tương ứng với \( 2^{10} \), và ta có \( n = 10 \) số hạng.

Sử dụng công thức tổng của chuỗi hình học, ta có:
\[
S = a \frac{1 - r^{n}}{1 - r} = \frac{1/2 \cdot (1 - (1/2)^{10})}{1 - 1/2} = (1 - \frac{1}{1024}) = \frac{1023}{1024}.
\]

**c)** Tính
\[
S = \left(1 + \frac{2}{3}\right) \times \left(1 + \frac{2}{4}\right) \times \cdots \times \left(1 + \frac{2}{99}\right)
\]
=
\[
\frac{5}{3} \times \frac{6}{4} \times \frac{7}{5} \times \cdots \times \frac{101}{99}.
\]

Ta có thể viết lại:
\[
S = \frac{5 \times 6 \times 7 \times \cdots \times 101}{3 \times 4 \times 5 \times \cdots \times 99}.
\]
Số hạng từ 5 đến 101 có tất cả 97 hạng. Số hạng từ 3 đến 99 có 97 hạng nên các yếu tố 5 đến 99 sẽ triệt tiêu:

Kết quả còn lại là:
\[
S = \frac{100 \times 101}{3 \times 4}.
\]

Vậy \( S \) có thể tính là:
\[
\frac{10100}{12} = 841.67 \quad\text{ (khoảng 842, nếu làm tròn)}.
\]

Tóm lại kết quả:
a) \( \frac{99}{100} \)
b) \( \frac{1023}{1024} \)
c) \( \frac{10100}{12} = 841.67 \)