Để biểu thức \(\frac{\sqrt{a+5}}{\sqrt{a+1}}\) xác định, ta cần đảm bảo hai điều kiện sau:

1. \(a + 5 \geq 0\) (tức là \(a \geq -5\))
2. \(a + 1 > 0\) (tức là \(a > -1\))

Vậy điều kiện để biểu thức xác định là \(a > -1\).

Tiếp theo, ta giải biểu thức:

\[
f(a) = \frac{\sqrt{a+5}}{\sqrt{a+1}}
\]

Bây giờ, để tìm giá trị nguyên của \(a\), ta cần kiểm tra các giá trị nguyên từ -1 trở lên (tức là từ 0 và tiếp theo).

- Khi \(a = 0\): \(\frac{\sqrt{0 + 5}}{\sqrt{0 + 1}} = \frac{\sqrt{5}}{1}\) - xác định.
- Khi \(a = 1\): \(\frac{\sqrt{1 + 5}}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3}\) - xác định.
- Khi \(a = 2\): \(\frac{\sqrt{2 + 5}}{\sqrt{2 + 1}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}\) - xác định.
- Khi \(a = 3\): \(\frac{\sqrt{3 + 5}}{\sqrt{3 + 1}} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{4}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\) - xác định.
- Khi \(a = 4\): \(\frac{\sqrt{4 + 5}}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{3}{\sqrt{5}}\) - xác định.
- Khi \(a = 5\): \(\frac{\sqrt{5 + 5}}{\sqrt{5 + 1}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{6}}\) - xác định.

Vì vậy, các giá trị nguyên của \(a\) bắt đầu từ \(0\) trở đi sẽ cho ra biểu thức xác định.

Tóm lại, tổng giá trị nguyên của \(a\) bắt đầu từ \(0\) trở đi là các số nguyên \(0, 1, 2, 3, 4, 5, \ldots\).