Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^2 + 4x - 7 \), ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm hoặc hoàn thành bình phương.

### Phương pháp hoàn thành bình phương:
Ta có thể biến đổi biểu thức \( x^2 + 4x - 7 \) thành dạng bình phương hoàn chỉnh:

\[
x^2 + 4x - 7 = (x^2 + 4x + 4) - 4 - 7 = (x+2)^2 - 11
\]

Biểu thức \((x+2)^2\) luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 0, và nó đạt giá trị nhỏ nhất là 0 khi \( x = -2 \).

Do đó, giá trị nhỏ nhất của \((x+2)^2 - 11\) là:

\[
0 - 11 = -11
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^2 + 4x - 7 \) là \(-11\), đạt được khi \( x = -2 \).

### Phương pháp đạo hàm:
Tính đạo hàm của hàm số \( f(x) = x^2 + 4x - 7 \):

\[
f'(x) = 2x + 4
\]

Để tìm cực trị, ta giải phương trình \( f'(x) = 0 \):

\[
2x + 4 = 0 \Rightarrow x = -2
\]

Kiểm tra tính cực trị tại \( x = -2 \) bằng cách xét đạo hàm cấp hai:

\[
f''(x) = 2
\]

Vì \( f''(x) > 0\), hàm số có giá trị nhỏ nhất tại \( x = -2 \). Khi đó:

\[
f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) - 7 = 4 - 8 - 7 = -11
\]

Kết luận, giá trị nhỏ nhất của \( f(x) = x^2 + 4x - 7 \) là \(-11\), đạt được khi \( x = -2 \).