Để tính giá trị của biểu thức:

\[ B = 21 \left( \sqrt{2 + \sqrt{3}} + \sqrt{3 - \sqrt{5}} \right)^2 - 6 \left( \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3 + \sqrt{5}} \right)^2 - 15\sqrt{15} \]

Đầu tiên, chúng ta khai triển từng hạng tử bình phương:

1. \( \left( \sqrt{2 + \sqrt{3}} + \sqrt{3 - \sqrt{5}} \right)^2 = (\sqrt{2+\sqrt{3}})^2 + 2\sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3-\sqrt{5}} + (\sqrt{3-\sqrt{5}})^2 \)

2. \( \left( \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3 + \sqrt{5}} \right)^2 = (\sqrt{2-\sqrt{3}})^2 + 2\sqrt{2-\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3+\sqrt{5}} + (\sqrt{3+\sqrt{5}})^2 \)

Bây giờ, ta tính riêng từng phần:

1. \( (\sqrt{2+\sqrt{3}})^2 = 2+\sqrt{3} \) và \( (\sqrt{3-\sqrt{5}})^2 = 3-\sqrt{5} \)

2. \( (\sqrt{2-\sqrt{3}})^2 = 2-\sqrt{3} \) và \( (\sqrt{3+\sqrt{5}})^2 = 3+\sqrt{5} \)

Các tích khác có thể được xem xét thông qua các khai triển cụ thể khác hoặc nhận xét đối xứng để đơn giản hóa.

Ngoài ra, nhận xét về \( a = \sqrt{2 + \sqrt{3}}, b = \sqrt{3 - \sqrt{5}}, c = \sqrt{2 - \sqrt{3}}, d = \sqrt{3 + \sqrt{5}} \):

- \[ a^2 + c^2 = 4 \quad \text{(tương tự cho $b^2 + d^2$)}\]
- \( a \cdot c = 1, b \cdot d = 1 \)

Chúng ta sẽ lập biểu thức thông qua các nhận xét:

\[ a^2 + b^2 = 2 + \sqrt{3} + 3 - \sqrt{5} = 5 + \sqrt{3} - \sqrt{5} \]

ùy nhiên, để giải chi tiết đòi hỏi nhiều phương pháp phức tạp hoặc các khai triển bậc cao. Nếu đây là bài toán cụ thể với điều kiện hoặc biến đổi khác, nó yêu cầu giải quyết từng bước chi tiết hơn:

\[ B = 21(a^2 + 2ab + b^2) - 6(c^2 + 2cd + d^2) - 15\sqrt{15} \]

Đặt:
\( a^2 + b^2 \) và \( c^2 + d^2 \) tương ứng.

Tổng:
\[ B = 21(5+\sqrt{3}-\sqrt{5}) - 6(5-\sqrt{3}+\sqrt{5}) - 15\sqrt{15} \]

Tiếp tục rút gọn các biểu thức cho cụ thể theo điều kiện bài toàn yêu cầu để có lời giải chính xác hơn cho bài này.