Để giải bài này, ta cần làm theo hai phần:

### a. Chứng minh \(b = a - 2\)

Bắt đầu từ phương trình đã cho:

\[
a + 2 - \sqrt{b} = a^2
\]

Bằng cách sắp xếp lại phương trình, ta có:

\[
\sqrt{b} = a + 2 - a^2
\]

Để \(\sqrt{b}\) là số nguyên, \(a + 2 - a^2\) phải là số nguyên và là một số chính phương (bởi vì \(\sqrt{b}\) là số nguyên).

Do đó, đặt \(b = c^2\), ta có:

\[
c = a + 2 - a^2
\]

Từ dữ kiện này, ta có:

\[
b = (a - 2)
\]

### b. Tìm tất cả các cặp số \((a,b)\)

Từ biểu thức trong phần a:

\[
b = (a - 2)
\]

Nghĩa là:

\[
b = a^2 - 2a + 4
\]

Vì \(b\) là số nguyên dương nên:

\[
a^2 - 2a + 4 \geq 1
\]

Giải phương trình bất đẳng thức:

\[
a^2 - 2a + 3 \geq 0
\]

Giải căn của tam thức:

\[
a(a - 2) + 3 \geq 0 \Rightarrow a \geq 2
\]

Với \(a = 3\):
\[
b = a^2 - 2a + 4 = 9 - 6 + 4 = 7
\]

Vậy, cặp số thoả mãn \((a, b)\) là \((3, 7)\).

Do đó:

1. Ta có cặp số \((3, 7)\) thoả mãn bài toán đặt ra.
2. Kiểm tra với các giá trị khác của \(a\) lớn hơn 3 để phát hiện thêm các cặp \((a, b)\).