Để chứng minh bất đẳng thức \(S_{ODCE} \leq \frac{\sqrt{3}}{2} R^2\), ta thực hiện các bước sau:

1. **Phân tích bài toán:**

- Ta có nửa đường tròn \((O, R)\) với đường kính \(AB\).
- \(C\) là một điểm nằm trên nửa đường tròn.
- Đường vuông góc từ \(C\) đến \(AB\) gọi là \(CH\).
- Đường tròn tâm \(C\) bán kính \(CH\) cắt nửa đường tròn \((O)\) tại \(D\) và \(E\).

2. **Tính toán:**

- Ta cần tính diện tích tứ giác \(ODCE\).
- Gọi góc \(\angle AOC = \alpha\).

3. **Sử dụng các hệ thức:**

- Góc ở tâm nửa đường tròn là \(180^\circ\), do đó \(\angle AOC = 2\theta\).
- Cung \(AC\) là \(R\alpha\).
- Các góc \(\angle COD\) và \(\angle COE\) đều bằng \(\alpha\) do đối xứng qua \(OC\).

4. **Diện tích tam giác \(OCD\) và \(OCE\):**

- Sử dụng công thức diện tích tam giác với góc ở tâm và hai cạnh bằng bán kính:
\[
S_{OCD} = S_{OCE} = \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha)
\]

5. **Diện tích tứ giác \(ODCE\):**

\[
S_{ODCE} = S_{OCD} + S_{OCE} = R^2 \sin(\alpha)
\]

6. **Chứng minh bất đẳng thức:**

- Để chứng minh \(S_{ODCE} \leq \frac{\sqrt{3}}{2} R^2\), ta cần:
\[
\sin(\alpha) \leq \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
- Điều này đúng khi \(\alpha = 60^\circ\), vì \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Do đó, bất đẳng thức \(S_{ODCE} \leq \frac{\sqrt{3}}{2}R^2\) luôn đúng.