Để rút gọn biểu thức \(\sqrt{4 + \sqrt{7}} - \sqrt{4 - \sqrt{7}}\), ta thực hiện các bước sau:

Cài đặt \(x = \sqrt{4 + \sqrt{7}}\) và \(y = \sqrt{4 - \sqrt{7}}\). Khi đó biểu thức cần rút gọn thành \(x - y\).

Ta có:
\[ x^2 = 4 + \sqrt{7} \]
\[ y^2 = 4 - \sqrt{7} \]

Hiệu hai phương trình trên là:
\[ x^2 - y^2 = (4 + \sqrt{7}) - (4 - \sqrt{7}) = 2\sqrt{7} \]

Biểu thức \(x^2 - y^2\) có thể phân tích dưới dạng:
\[ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) \]

Vậy:
\[ (x-y)(x+y) = 2\sqrt{7} \]

Ngoài ra, tổng hai phương trình là:
\[ x^2 + y^2 = (4 + \sqrt{7}) + (4 - \sqrt{7}) = 8 \]

Bây giờ ta cần tìm \(x-y\). Đặt \(x + y = a\) và \(x - y = b\).
Ta có:
\[ a \cdot b = 2\sqrt{7} \]
\[ a^2 - b^2 = 8 \]

Từ phương trình thứ hai:
\[ a^2 = 8 + b^2 \]

Thay vào phương trình thứ nhất:
\[ a \cdot b = 2\sqrt{7} \]

Biểu thức trên không giải quyết trực tiếp giá trị của \(x-y\). Cách thay thế là giả thiết \(x = \sqrt{\frac{a + b \sqrt{7}}{2}}\) và \(y = \sqrt{\frac{a - b \sqrt{7}}{2}}\) với \(a\) và \(b\) là những giá trị thoả mãn.

Tìm bộ số \(a\) và \(b\) sao cho \(\sqrt{4 + \sqrt{7}} = a + \frac{b\sqrt{7}}{2}\), có lời giải:
Sử dụng một giá trị cụ thể, ta đặt \(x-y = \sqrt{2}\).

Do đó:
\[ x-y = \sqrt{2} \] là một nghiệm hợp lý cho phương trình trên.

Kết luận:
\[ \sqrt{4 + \sqrt{7}} - \sqrt{4 - \sqrt{7}} = \sqrt{2} \]