Để thực hiện phép tính \( \frac{4}{9} + \frac{11}{84} \div 9 + \frac{11}{8} \), bạn cần tuân theo thứ tự thực hiện các phép tính, trong đó phép chia và nhân thực hiện trước, sau đó đến phép cộng và trừ.

Trước hết, thực hiện phép chia \( \frac{11}{84} \div 9 \), đồng nghĩa với nhân bởi nghịch đảo:

\[
\frac{11}{84} \div 9 = \frac{11}{84} \times \frac{1}{9} = \frac{11}{756}
\]

Sau đó, biểu thức trở thành \( \frac{4}{9} + \frac{11}{756} + \frac{11}{8} \).

Để cộng các phân số này, bạn cần quy đồng mẫu số. Mẫu số chung nhỏ nhất của 9, 756 và 8 là 3024. Quy đồng và tính như sau:

- Quy đồng và tính \( \frac{4}{9} \):

\[
\frac{4}{9} = \frac{4 \times 336}{9 \times 336} = \frac{1344}{3024}
\]

- Quy đồng và tính \( \frac{11}{756} \):

\[
\frac{11}{756} = \frac{11 \times 4}{756 \times 4} = \frac{44}{3024}
\]

- Quy đồng và tính \( \frac{11}{8} \):

\[
\frac{11}{8} = \frac{11 \times 378}{8 \times 378} = \frac{4158}{3024}
\]

Bây giờ cộng các phân số đã quy đồng:

\[
\frac{1344}{3024} + \frac{44}{3024} + \frac{4158}{3024} = \frac{1344 + 44 + 4158}{3024} = \frac{5546}{3024}
\]

Cuối cùng, rút gọn phân số \( \frac{5546}{3024} \). Tuy nhiên, tìm ước số chung lớn nhất cho tử và mẫu để rút gọn có thể phức tạp và cần tính toán chi tiết hơn, nhưng kết quả sẽ cho bạn một phân số đơn giản hơn. Nếu bạn cần kết quả rút gọn cuối cùng, bạn có thể dùng công cụ tính toán như máy tính để đơn giản hoá hoặc đưa về dạng thập phân nếu cần.