Để tính hai biểu thức này, ta áp dụng một số công thức lượng giác.

a) \( M = \sin 10^\circ \cdot \cos 80^\circ + \cos 10^\circ \cdot \sin 80^\circ \)

Sử dụng công thức cộng góc:

\[
\sin A \cos B + \cos A \sin B = \sin(A + B)
\]

Vậy:
\[
M = \sin(10^\circ + 80^\circ) = \sin 90^\circ = 1
\]

b) \( N = \frac{\sin 58^\circ}{\cos 32^\circ} - \cos 60^\circ + \tan 37^\circ \cdot \tan 53^\circ + \sin 30^\circ \)

- Sử dụng công thức cộng góc:
\[
\sin(90^\circ - x) = \cos x
\]
Nên \(\sin 58^\circ = \cos 32^\circ\). Do đó:
\[
\frac{\sin 58^\circ}{\cos 32^\circ} = 1
\]

- Tính \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\)

- Ta có công thức:
\(\tan(90^\circ - x) = \cot x\)

Nên \(\tan 37^\circ = \cot 53^\circ\), và \(\tan 53^\circ = \cot 37^\circ\)

Vậy \(\tan 37^\circ \cdot \tan 53^\circ = 1\).

- Tính \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\)

Kết hợp tất cả lại:

\[
N = 1 - \frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2} = 2
\]

Vậy \( N = 2 \).